603.

Kvadratna jednačina sa apsolutnim vrednostima

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2x2−∣5x−2∣=02x^2-|5x-2|=0
REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: ∣a∣={a,ako je  a≥0−a,a<0|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}

∣5x−2∣={5x−2,5x−2≥0−(5x−2),5x−2<0|5x-2|= \begin {cases} 5x-2, \quad 5x-2 \ge 0\\ -(5x-2), \quad 5x-2 < 0 \end {cases}
∣5x−2∣={5x−2,x≥25−5x+2,x<25|5x-2|= \begin {cases} 5x-2, \quad x \ge \frac{2}{5}\\ -5x+2, \quad x < \frac{2}{5} \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1.2x2−(5x−2)=0zax≥252.2x2−(−5x+2)=0zax<251. \quad 2x^2-(5x-2)=0 \quad \text{za} \quad x \ge \frac{2}{5}\\ 2. \quad 2x^2-(-5x+2)=0 \quad \text{za} \quad x<\frac{2}{5}

Rešiti jednačinu u prvom slučaju primenom formule: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−5b=-5 i c=2.c=2.

2x2−5x+2=0x1,2=5±25−162⋅2x1=12∨x2=22x^2-5x+2=0 \\ x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{25-16} } {2\cdot2} \\ x_1 = \frac{1}{2} \quad \lor \quad x_2=2

Oba rešenja prvog slučaja x1=12x_1=\frac{1}{2} i x2=2x_2=2 zadovoljavaju uslov x≥25.x\ge\frac{2}{5}.

Rešiti jednačinu u drugom slučaju primenom formule: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=5b=5 i c=−2.c=-2.

2x2+5x−2=0x1,2=−5±25+162⋅2x1=−5+414∨x2=−5−4142x^2+5x-2=0 \\ x_{1,2}=\frac {-5\pm\sqrt{25+16} } {2\cdot2}\\ x_1 = \frac{-5+\sqrt{41}}{4} \quad \lor \quad x_2=\frac{-5-\sqrt{41}}{4}

Oba rešenja drugog slučaja x1=−5+414x_1=\frac{-5+\sqrt{41}}{4} i x2=−5−414x_2=\frac{-5-\sqrt{41}}{4} zadovoljavaju uslov x<25.x < \frac{2}{5}.

Konačno rešenje jednačine jednako je uniji rešenja oba slučaja.

x∈{12, 2, −5−414, −5+414}x \in \lbrace \frac{1}{2}, \ 2, \ \frac{-5-\sqrt{41}}{4}, \ \frac{-5+\sqrt{41}}{4} \rbrace

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti