647.

x4−2x3−x2−2x+1=0 x^4-2x^3-x^2-2x+1=0

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x4−2x3−x2−2x+1=0 x^4-2x^3-x^2-2x+1=0
REŠENJE ZADATKA

Podeliti jednačinu sa x2, x≠0.x^2, \ x\not=0.

x2−2x−1−2x+1x2=0x^2-2x-1-\frac2 x+\frac1{x^2}=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

(x2+1x2)−2(x+1x)−1=0\bigg(x^2+\frac1{x^2}\bigg)-2\bigg(x+\frac1 x\bigg)-1=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Uvesti smenu x+1x=t.x+\frac 1x=t.

t2−2t−3=0t^2-2t-3=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−2b=-2 i c=−3c=-3

t1,2=2±(−2)2−4⋅1⋅(−3)2⋅1  ⟹  t1=−1,t2=3t_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}} {2\cdot1} \implies t_1=-1, \quad t_2=3

Vratiti smenu x+1x=tx+\frac 1x=t i uvrstiti dobijena rešenja.

x+1x=−1∨x+1x=3x+\frac 1x=-1 \quad\lor\quad x+\frac 1x=3

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=−1+i32∨x=−1−i32∨x=3+52∨x=3−52x=\frac {-1+i\sqrt3}2 \quad\lor\quad x=\frac {-1-i\sqrt3}2 \quad\lor\quad x=\frac {3+\sqrt5}2 \quad\lor\quad x=\frac {3-\sqrt5}2
DODATNO OBJAŠNJENJE