Podeli

648.
Kvadratna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

6x^4+7x^3-26x^2+7x+6=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti jednačinu sa $x^2, \ x\not=0.$

6x^2+7x-26+\frac7x+\frac 6{x^2}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {6x^4} {x^2}+\frac {7x^3}{x^2}-\frac {26x^2} {x^2}+\frac{7x}{x^2}+\frac 6{x^2}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

6\bigg(x^2+\frac 1{x^2}\bigg)+7\bigg(x+\frac1x\bigg)-26=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

6x^2+\frac 6{x^2}+7x+\frac7x-26=0

Uvesti smenu $x+\frac 1x=t.$

6t^2+7t-38=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

x^2+\frac 1 {x^2}=\bigg(x+\frac 1x\bigg)^2-2=t^2-2

6(t^2-2)+7t-26=0

6t^2-12+7t-26=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=6,$ $b=7$ i $c=-38$

t_{1,2}=\frac {-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot6\cdot(-38)}} {2\cdot6} \implies t_1=-\frac {19} 6, \quad t_2=2

Vratiti smenu $x+\frac 1x=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x+\frac 1x=-\frac{19}6 \quad\lor\quad x+\frac 1x=2

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=\frac {-19-\sqrt{217}} {12} \quad\lor\quad x=\frac {-19+\sqrt{217}} {12} \quad\lor\quad x=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

x+\frac 1x+\frac{19}6=0 \quad\lor\quad x+\frac 1x-2=0

6x^2+19x+6=0 \quad\lor\quad x^2-2x+1=0

648.Kvadratna jednačina