1660.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkciju i skicirati grafik: y=x2−4. y = x^2 - 4 .

y=x2−4y = x^2 - 4
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom drugog stepena, funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D=R=(−∞,+∞)D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Ispitujemo parnost funkcije računanjem f(−x). f(-x) .

f(−x)=(−x)2−4=x2−4=f(x)f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna, što znači da je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine y=0. y = 0 .

x2−4=0  ⟹  x2=4  ⟹  x1=−2,x2=2x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2

Određujemo znak funkcije. Funkciju možemo faktorisati kao razliku kvadrata kako bismo lakše analizirali znak na intervalima.

y=(x−2)(x+2)y = (x-2)(x+2)
x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,2)x \in (-2, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x+2x+2
−-
++
++
x−2x-2
−-
−-
++
yy
++
−-
++

Na osnovu tabele, funkcija je pozitivna za x∈(−∞,−2)∪(2,+∞), x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) , a negativna za x∈(−2,2). x \in (-2, 2) .

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y=02−4=−4y = 0^2 - 4 = -4

Presek sa y-osom je u tački (0,−4). (0, -4) .

Određujemo ekstremne vrednosti. Kvadratna funkcija je oblika y=ax2+bx+c. y = ax^2 + bx + c . U našem slučaju je a=1, a = 1 , b=0, b = 0 , c=−4. c = -4 .

a>0  ⟹  funkcija ima minimuma > 0 \implies \text{funkcija ima minimum}

Računamo koordinate temena (minimuma) koristeći formule xT=−b2a x_T = -\frac{b}{2a} i yT=4ac−b24a. y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} .

xT=−02⋅1=0yT=4⋅1⋅(−4)−024⋅1=−4\begin{aligned} x_T &= -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \\ y_T &= \frac{4 \cdot 1 \cdot (-4) - 0^2}{4 \cdot 1} = -4 \end{aligned}

Teme parabole, koje predstavlja minimum funkcije, nalazi se u tački T(0,−4). T(0, -4) .

Određujemo monotonost funkcije na osnovu x-koordinate temena i znaka koeficijenta a. a .

y↘ za x∈(−∞,0)y↗ za x∈(0,+∞)\begin{aligned} &y \searrow \text{ za } x \in (-\infty, 0) \\ &y \nearrow \text{ za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik funkcije je parabola okrenuta otvorom nagore, sa temenom u tački (0,−4) (0, -4) i presecima sa x-osom u tačkama (−2,0) (-2, 0) i (2,0). (2, 0) .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti