1927.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

2−x−x2−x2+x−1=1\sqrt{2-x-x^2} - \sqrt{x^2+x-1} = 1
REŠENJE ZADATKA

Uočavamo da se izrazi pod korenima mogu zapisati preko istog binoma x2+x. x^2+x . Uvodimo smenu t=x2+x. t = x^2+x .

2−x−x2=2−(x2+x)=2−tx2+x−1=(x2+x)−1=t−1\begin{aligned} 2-x-x^2 &= 2-(x^2+x) = 2-t \\ x^2+x-1 &= (x^2+x)-1 = t-1 \end{aligned}

Zapisujemo jednačinu koristeći novu promenljivu t. t .

2−t−t−1=1\sqrt{2-t} - \sqrt{t-1} = 1

Određujemo uslove definisanosti (domen) za promenljivu t. t . Potkoreni izrazi moraju biti nenegativni.

{2−t≥0  ⟹  t≤2t−1≥0  ⟹  t≥1  ⟹  t∈[1,2]\begin{cases} 2-t \ge 0 \implies t \le 2 \\ t-1 \ge 0 \implies t \ge 1 \end{cases} \implies t \in [1, 2]

Kvadriramo obe strane jednačine.

(2−t−t−1)2=12(\sqrt{2-t} - \sqrt{t-1})^2 = 1^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma i sređujemo izraz.

(2−t)−2(2−t)(t−1)+(t−1)=1(2-t) - 2\sqrt{(2-t)(t-1)} + (t-1) = 1

Pojednostavljujemo dobijenu jednačinu.

1−2(2−t)(t−1)=1−2(2−t)(t−1)=0(2−t)(t−1)=0\begin{aligned} 1 - 2\sqrt{(2-t)(t-1)} &= 1 \\ -2\sqrt{(2-t)(t-1)} &= 0 \\ \sqrt{(2-t)(t-1)} &= 0 \end{aligned}

Rešavamo jednačinu po t. t .

(2−t)(t−1)=0  ⟹  t1=2,t2=1(2-t)(t-1) = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = 1

Proveravamo dobijena rešenja u jednačini pre kvadriranja, jer kvadriranje može uvesti lažna rešenja. Za t1=2: t_1 = 2 :

2−2−2−1=0−1=−1≠1\sqrt{2-2} - \sqrt{2-1} = 0 - 1 = -1 \neq 1

Rešenje t1=2 t_1 = 2 odbacujemo. Proveravamo rešenje t2=1: t_2 = 1 :

2−1−1−1=1−0=1\sqrt{2-1} - \sqrt{1-1} = 1 - 0 = 1

Rešenje t=1 t = 1 je validno. Vraćamo smenu t=x2+x. t = x^2+x .

x2+x=1  ⟹  x2+x−1=0x^2+x = 1 \implies x^2+x-1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po x. x .

x1,2=−1±12−4⋅1⋅(−1)2=−1±52x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti