1928.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

x+3+9−x4>3\sqrt{x+3} + \sqrt[4]{9-x} > \sqrt{3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Potkoreni izrazi parnih korena moraju biti nenegativni:

{x+3≥09−x≥0\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo uslove za domen:

{x≥−3x≤9\begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 9 \end{cases}

Dakle, domen nejednačine je interval:

x∈[−3,9]x \in [-3, 9]

Analiziraćemo levu stranu nejednačine tako što ćemo domen podeliti na dva podintervala: [−3,0) [-3, 0) i [0,9]. [0, 9] .

[−3,9]=[−3,0)∪[0,9][-3, 9] = [-3, 0) \cup [0, 9]

Slučaj 1: Neka je x∈[0,9]. x \in [0, 9] . Tada je x≥0, x \ge 0 , pa za prvi koren važi:

x+3≥3\sqrt{x+3} \ge \sqrt{3}

Drugi koren je na celom domenu nenegativan, odnosno 9−x4≥0. \sqrt[4]{9-x} \ge 0 . Zbir ova dva izraza je:

x+3+9−x4≥3+0=3\sqrt{x+3} + \sqrt[4]{9-x} \ge \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}

Da bi važila jednakost, moralo bi istovremeno biti x=0 x = 0 i x=9, x = 9 , što je nemoguće. Zato je nejednakost stroga za ovaj interval.

x+3+9−x4>3\sqrt{x+3} + \sqrt[4]{9-x} > \sqrt{3}

Slučaj 2: Neka je x∈[−3,0). x \in [-3, 0) . Tada je −x>0, -x > 0 , pa za izraz pod drugim korenom važi 9−x>9. 9-x > 9 . Odatle sledi:

9−x4>94=3\sqrt[4]{9-x} > \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}

Prvi koren je nenegativan (x+3≥0 \sqrt{x+3} \ge 0 ), pa dodavanjem na prethodnu nejednakost dobijamo:

x+3+9−x4>0+3=3\sqrt{x+3} + \sqrt[4]{9-x} > 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3}

Pošto je polazna nejednakost zadovoljena u oba slučaja, zaključujemo da je tačna za svako x x iz domena. Konačno rešenje je:

x∈[−3,9]x \in [-3, 9]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti