1898. Iracionalne jednačine i nejednačine

Nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} < g(x)$ je ekvivalentna sistemu nejednačina:

\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na zadatu nejednačinu:

\begin{cases} x^2-3x-10 \ge 0 \\ 8-x > 0 \\ x^2-3x-10 < (8-x)^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu sistema. Nalazimo nule kvadratnog trinoma $x^2-3x-10 :$

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}

Nule su:

x_1 = 5, \quad x_2 = -2

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, trinom je nenegativan van intervala između nula:

x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu sistema:

8-x > 0 \implies x < 8

Rešavamo treću nejednačinu sistema. Prvo kvadriramo binom na desnoj strani:

x^2-3x-10 < 64 - 16x + x^2

Sređujemo nejednačinu oduzimanjem $x^2$ sa obe strane i grupisanjem nepoznatih na levoj strani:

16x - 3x < 64 + 10

Dobijamo linearnu nejednačinu:

13x < 74 \implies x < \frac{74}{13}

Sada tražimo presek rešenja sve tri nejednačine:

\begin{cases} x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty) \\ x \in (-\infty, 8) \\ x \in \left(-\infty, \frac{74}{13}\right) \end{cases}

Pošto je $\frac{74}{13} < 8 ,$ presek drugog i trećeg uslova je $x < \frac{74}{13} .$ Presek ovog rezultata sa prvim uslovom daje konačno rešenje:

x \in (-\infty, -2] \cup \left[5, \frac{74}{13}\right)

1898.Iracionalne jednačine i nejednačine