1897.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu: x2−9>x−9 \sqrt{x^2-9} > x-9

x2−9>x−9\sqrt{x^2-9} > x-9
REŠENJE ZADATKA

Iracionalna nejednačina oblika f(x)>g(x) \sqrt{f(x)} > g(x) je ekvivalentna uniji dva sistema nejednačina. Prvi sistem obuhvata slučaj kada je desna strana negativna, a drugi kada je nenegativna.

{g(x)<0f(x)≥0∨{g(x)≥0f(x)>(g(x))2\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na našu nejednačinu gde je f(x)=x2−9 f(x) = x^2-9 i g(x)=x−9. g(x) = x-9 . Postavljamo prvi sistem (Slučaj 1):

{x−9<0x2−9≥0\begin{cases} x-9 < 0 \\ x^2-9 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu prvog sistema:

x−9<0  ⟹  x<9x-9 < 0 \implies x < 9

Rešavamo drugu nejednačinu prvog sistema (uslov definisanosti korena) rastavljanjem na činioce:

x2−9≥0  ⟹  (x−3)(x+3)≥0x^2-9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,3)x \in (-3, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−3x-3
++
++
++
x+3x+3
++
++
++
(x−3)(x+3)(x-3)(x+3)
++
++
++

Na osnovu analize znaka, rešenje druge nejednačine je:

x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)

Presek rešenja za prvi sistem (Slučaj 1), odnosno presek uslova x<9 x < 9 i x∈(−∞,−3]∪[3,+∞), x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) , je:

x∈(−∞,−3]∪[3,9)x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9)

Sada postavljamo drugi sistem (Slučaj 2), gde je desna strana nenegativna pa smemo da kvadriramo nejednačinu:

{x−9≥0x2−9>(x−9)2\begin{cases} x-9 \ge 0 \\ x^2-9 > (x-9)^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu drugog sistema:

x−9≥0  ⟹  x≥9x-9 \ge 0 \implies x \ge 9

Rešavamo drugu nejednačinu drugog sistema kvadriranjem binoma na desnoj strani:

x2−9>x2−18x+81x^2-9 > x^2-18x+81

Sređujemo nejednačinu tako što prebacimo nepoznate na levu, a poznate vrednosti na desnu stranu:

18x>90  ⟹  x>518x > 90 \implies x > 5

Presek rešenja za drugi sistem (Slučaj 2), odnosno presek uslova x≥9 x \ge 9 i x>5, x > 5 , je:

x∈[9,+∞)x \in [9, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog sistema:

x∈(−∞,−3]∪[3,9)∪[9,+∞)x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9) \cup [9, +\infty)

Zapisujemo konačan skup rešenja u najjednostavnijem obliku spajanjem susednih intervala:

x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti