662. Iracionalna jednačina

Rešiti jednačinu:

\sqrt{7x-1}-\sqrt{3x-18}=5

Jednačina je definisana za:

\sqrt{7x-1}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{3x-18}\ge0 \\ 7x-1\ge 0 \quad\land\quad 3x-18\ge0 \\ 7x\ge1 \quad\land\quad 3x\ge 18 \\ x\ge \frac 17 \quad\land\quad x\ge6 \\ x\in[6, \infty)

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{7x-1}-\sqrt{3x-18})^2=5^2

Primeniti formulu za kvadrat razlike $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2.$

7x-1-2\cdot \sqrt{7x-1} \cdot\sqrt{3x-18}+3x-18=25 \\ -2\cdot \sqrt{7x-1} \cdot\sqrt{3x-18}=25-10x+19 \\ 2\sqrt{(7x-1)(3x-18)}=10x-44 \\

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .$

4(7x-1)(3x-18)=(10x-44)^2 \quad \land \quad 10x-44\ge0 \\ 4x^2-91x+466=0 \quad \land \quad x\ge\frac {22}{5}

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-91$ i $c=466$

4x^2-91x+466=0 \\ x_{1,2}=\frac {91\pm\sqrt{(-91)^2-4\cdot4\cdot466}} {2\cdot4} \\ x_{1,2}=\frac {91\pm\sqrt{8281-7456}} {8} \\ x_{1,2}=\frac {91\pm 825} {8} \\ x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8\approx14,97 \quad \lor \quad x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8\approx7,78

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove $x\ge6$ i $x\ge\frac {22}5.$

x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8\approx14,97 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge6 \quad\land\quad x\ge\frac{22}5 \\ x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8\approx7,78 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge6 \quad\land\quad x\ge\frac{22}5

Konačno rešenje je:

x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8 \quad \lor \quad x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8

662.Iracionalna jednačina