663.

Iracionalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x+3+x+8=x+24\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}=\sqrt{x+24}
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

x+3≥0∧x+8≥0∧x+24≥0x+3≥0∧x+8≥0∧x+24≥0x≥−3∧x≥−8∧x≥−24x≥−3\sqrt{x+3}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{x+8}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{x+24} \ge0 \\ x+3\ge0 \quad\land\quad x+8\ge0 \quad\land\quad x+24\ge0 \\ x\ge-3 \quad\land\quad x\ge-8 \quad\land\quad x\ge-24 \\ x\ge-3

Kvadrirati obe strane.

(x+3+x+8)2=(x+24)2(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8})^2=(\sqrt{x+24} )^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.

x+3+2⋅x+3⋅x+8+x+8=x+242⋅x+3⋅x+8=x+24−2x−112(x+3)(x+8)=13−xx+3+2\cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+8}+x+8=x+24 \\ 2\cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+8}=x+24-2x-11 \\ 2\sqrt{(x+3)(x+8)}=13-x

Jednačina oblika a(x)=b(x)\sqrt{a(x)} = b(x) je ekvivalentna sistemu a(x)=b2(x) ∧ b(x)≥0 .a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .

2(x+3)(x+8)=(13−x)2∧13−x≥03x2+70x−73=0∧x≤132(x+3)(x+8)=(13-x)^2 \quad\land\quad 13-x\ge0 \\ 3x^2+70x-73=0 \quad\land\quad x\le13

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=3,a=3, b=70b=70 i c=−73c=-73

3x2+70x−73=0x1,2=−70±702−4⋅3⋅(−73)2⋅3x1,2=−70±4900+8766x1,2=−70±766x1=−24∨x2=13x^2+70x-73= 0 \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm\sqrt{70^2-4\cdot3\cdot(-73)}} {2\cdot3} \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm\sqrt{4900+876}} {6} \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm 76} {6} \\ x_1=-24 \quad \lor \quad x_2=1

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove x≥−3x\ge -3 i x≤13.x\le13.

x1=−24 ne zadovoljava uslov x≥−3x2=1 zadovoljava uslove x≥−3 ∧ x≤13x_1=-24 \ \text{ne zadovoljava uslov} \ x \ge -3 \\ x_2=1 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge -3 \ \land\ x\le13

Konačno rešenje je:

x=1x=1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti