660. Iracionalna jednačina

Rešiti jednačinu:

\sqrt{2x+8}+\sqrt{x+5}=7

Jednačina je definisana za:

2x+8 \ge 0 \quad \land \quad x+5 \ge 0 \\ 2x \ge -8 \quad \land \quad x \ge -5 \\ x \ge -4 \quad \land \quad x \ge -5 \\ x \ge -4

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{2x+8}+\sqrt{x+5})^2=7^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

2x+8 + 2\cdot \sqrt{2x+8} \cdot \sqrt{x+5} + x+5 = 49 \\ 2\cdot \sqrt{2x+8} \cdot \sqrt{x+5} = -3x + 49 - 13 \\ 2 \sqrt{(2x+8)(x+5)} = -3x + 36

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .$

4 (2x+8)(x+5) = (-3x + 36)^2 \quad \land \quad -3x + 36 \ge 0 \\ x^2-288x+1136= 0 \quad \land \quad x < 12

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-288$ i $c=1136$

x^2-288x+1136= 0 \\ x_{1,2}=\frac {288\pm\sqrt{(-288)^2-4\cdot1\cdot1136}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {288\pm\sqrt{82944-4544}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {288\pm 280} {2} \\ x_1=284 \quad \lor \quad x_2=4

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove $x\ge -4$ i $x<12.$

x_1=284 \ \text{ne zadovoljava uslov} \ x< 12 \\ x_2=4 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge -4 \ \land\ x<12

Konačno rešenje je:

x=4

660.Iracionalna jednačina