TEKST ZADATKA
Izračunati:
1 2 10 ( 5 − 14 i 4 − i + i ) 7 + 1 + 2 i \sqrt{\frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{5-14i}{4-i}+i \Big)^7+1+2i} 2 10 1 ( 4 − i 5 − 14 i + i ) 7 + 1 + 2 i REŠENJE ZADATKA
Srediti izraz:
1 2 10 ( 5 − 14 i 4 − i + i ) 7 \frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{5-14i}{4-i}+i \Big)^7 2 10 1 ( 4 − i 5 − 14 i + i ) 7 Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 4 − i , 4-i, 4 − i , što je 4 + i . 4+i. 4 + i .
1 2 10 ( 5 − 14 i 4 − i ⋅ 4 + i 4 + i + i ) 7 1 2 10 ( 34 − 51 i 17 + i ) 7 \frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{5-14i}{4-i} \cdot \frac{4+i}{4+i}+i \Big)^7 \\
\frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{34-51i}{17} +i \Big)^7 2 10 1 ( 4 − i 5 − 14 i ⋅ 4 + i 4 + i + i ) 7 2 10 1 ( 17 34 − 51 i + i ) 7 Srediti izraz.
1 2 10 ( 2 − 3 i + i ) 7 1 2 10 ( 2 − 2 i ) 7 1 2 10 ( 2 ( 1 − i ) ) 7 1 2 10 ⋅ 2 7 ( 1 − i ) 7 1 2 3 ( 1 − i ) 7 \frac{1}{2^{10}} \Big(2-3i +i \Big)^7 \\
\frac{1}{2^{10}} \Big(2-2i\Big)^7 \\
\frac{1}{2^{10}} \Big(2(1-i)\Big)^7 \\
\frac{1}{2^{10}}\cdot 2^7\Big(1-i \Big)^7 \\
\frac{1}{2^3} \Big(1-i \Big)^7 2 10 1 ( 2 − 3 i + i ) 7 2 10 1 ( 2 − 2 i ) 7 2 10 1 ( 2 ( 1 − i ) ) 7 2 10 1 ⋅ 2 7 ( 1 − i ) 7 2 3 1 ( 1 − i ) 7 Izraz ( 1 − i ) 7 (1-i)^7 ( 1 − i ) 7 rastaviti na sledeći način:
1 2 3 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − i ) 6 1 2 3 ⋅ ( 1 − i ) ( ( 1 − i ) 2 ) 3 \frac{1}{2^3} \cdot(1-i) (1-i )^6 \\
\frac{1}{2^3} \cdot (1-i) \Big((1-i )^2\Big)^3 2 3 1 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − i ) 6 2 3 1 ⋅ ( 1 − i ) ( ( 1 − i ) 2 ) 3 Srediti izraz.
1 2 3 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − 2 i + i 2 ) 3 1 2 3 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − 2 i − 1 ) 3 1 2 3 ⋅ ( 1 − i ) ( − 2 i ) 3 \frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (1-2i+i^2)^3\\
\frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (1-2i-1)^3\\
\frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (-2i)^3 2 3 1 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − 2 i + i 2 ) 3 2 3 1 ⋅ ( 1 − i ) ( 1 − 2 i − 1 ) 3 2 3 1 ⋅ ( 1 − i ) ( − 2 i ) 3 Skratiti 2 3 2^3 2 3 i zameniti i 3 i^3 i 3 sa − i -i − i
1 2 3 ⋅ ( − 2 ) 3 ( 1 − i ) ( − i ) − ( 1 − i ) ( − i ) i ( 1 − i ) i − i 2 1 + i \frac{1}{\cancel{2^3}}\cdot\cancel{(-2)^3}(1-i)(-i)\\
-(1-i)(-i)\\
i(1-i) \\
i-i^2\\
1+i 2 3 1 ⋅ ( − 2 ) 3 ( 1 − i ) ( − i ) − ( 1 − i ) ( − i ) i ( 1 − i ) i − i 2 1 + i Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.
1 + i + 1 + 2 i 2 + 3 i \sqrt{1+i+1+2i} \\
\sqrt{2+3i} 1 + i + 1 + 2 i 2 + 3 i Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 2 + 3 i = x + i y , \sqrt{2+3i}=x+iy, 2 + 3 i = x + i y , gde su x x x i y y y realni brojevi koje treba odrediti.
Kvadrirati obe strane.
2 + 3 i = x + i y 2 + 3 i = ( x + i y ) 2 2 + 3 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 \sqrt{2+3i}=x+iy\\
2+3i=(x+iy)^2\\2+3i=x^2+2xiy+i^2y^2 2 + 3 i = x + i y 2 + 3 i = ( x + i y ) 2 2 + 3 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 Pošto je i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 dobija se:
2 + 3 i = x 2 + 2 x y i − y 2 2+3i=x^2+2xyi-y^2 2 + 3 i = x 2 + 2 x y i − y 2 Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:
x 2 − y 2 = 2 2 x y = 3 x^2-y^2=2 \\
2xy=3 x 2 − y 2 = 2 2 x y = 3 Realni deo kompleksnog broja 2 + 3 i 2+3i 2 + 3 i je 2 , 2, 2 , a imaginarni deo je 3. 3. 3.
Realni deo kompleksnog broja x 2 + 2 x y i − y 2 x^2+2xyi-y^2 x 2 + 2 x y i − y 2 je x 2 − y 2 , x^2-y^2, x 2 − y 2 , a imaginarni deo je 2 x y . 2xy. 2 x y .
Iz druge jednačine izraziti y . y. y .
2 x y = 3 ⟹ y = 3 2 x 2xy=3 \implies y=\frac3{2x} 2 x y = 3 ⟹ y = 2 x 3 Uvrstiti y = 3 2 x y=\frac{3}{2x} y = 2 x 3 u prvu jednačinu.
x 2 − ( 3 2 x ) 2 = 2 x 2 − 9 4 x 2 = 2 4 x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 x^2-\bigg(\frac3{2x}\bigg)^2=2\\
x^2-\frac9{4x^2}=2\\
4x^4-8x^2-9=0 x 2 − ( 2 x 3 ) 2 = 2 x 2 − 4 x 2 9 = 2 4 x 4 − 8 x 2 − 9 = 0 Uvesti smenu t = x 2 . t=x^2. t = x 2 .
4 t 2 − 8 t − 9 = 0 4t^2-8t-9=0 4 t 2 − 8 t − 9 = 0 Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c ,
gde su: a = 4 , a=4, a = 4 , b = − 8 b=-8 b = − 8 i c = − 9 c=-9 c = − 9
t 1 , 2 = 8 ± ( − 8 ) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( − 9 ) 2 ⋅ 4 t 1 , 2 = 8 ± 64 + 144 8 t 1 , 2 = 8 ± 4 13 8 t 1 = 2 + 13 2 ∨ t 2 = 2 − 13 2 t_{1,2} = \frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot4\cdot (-9)}}{2\cdot 4}\\
t_{1,2} = \frac{8\pm\sqrt{64+144}}{8}\\
t_{1,2} = \frac{8\pm4\sqrt{13}}{8} \\
t_1=\frac{2+\sqrt{13}}2 \quad\lor\quad t_2=\frac{2-\sqrt{13}}2 t 1 , 2 = 2 ⋅ 4 8 ± ( − 8 ) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( − 9 ) t 1 , 2 = 8 8 ± 64 + 144 t 1 , 2 = 8 8 ± 4 13 t 1 = 2 2 + 13 ∨ t 2 = 2 2 − 13 Kako je t = x 2 t=x^2 t = x 2 ne može biti negativno, rešenje t 2 = 2 − 13 2 t_2=\frac{2-\sqrt{13}}2 t 2 = 2 2 − 13 se odbacuje.
Za t 1 = 2 + 13 2 t_1=\frac{2+\sqrt{13}}2 t 1 = 2 2 + 13 rešenja za x x x su:
x 1 = 2 + 13 2 ∨ x 2 = − 2 + 13 2 x_1=\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}\quad\lor\quad x_2=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2} x 1 = 2 2 + 13 ∨ x 2 = − 2 2 + 13 Rešenja za y y y su:
y 1 = 3 2 2 + 13 2 y 2 = 3 − 2 2 + 13 2 y_1=\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}} \\
y_2=\frac3{-2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}} y 1 = 2 2 2 + 13 3 y 2 = − 2 2 2 + 13 3 Za x 1 = 2 + 13 2 x_1=\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2} x 1 = 2 2 + 13 i y 1 = 3 2 2 + 13 2 y_1=\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}} y 1 = 2 2 2 + 13 3 rešenje je:
2 + 13 2 + 3 2 2 + 13 2 i \sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}+\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i 2 2 + 13 + 2 2 2 + 13 3 i Za x 2 = − 2 + 13 2 x_2=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2} x 2 = − 2 2 + 13 i y 2 = − 4 y_2=-4 y 2 = − 4 rešenje je:
− 2 + 13 2 − 3 2 2 + 13 2 i -\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}-\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i − 2 2 + 13 − 2 2 2 + 13 3 i Dva moguća rešenja su:
2 + 13 2 + 3 2 2 + 13 2 i , − 2 + 13 2 − 3 2 2 + 13 2 i \sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}+\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i,\quad -\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}-\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i 2 2 + 13 + 2 2 2 + 13 3 i , − 2 2 + 13 − 2 2 2 + 13 3 i