TEKST ZADATKA
Izračunati:
7 2 ( 5 − i 2 − 3 i ) 7 − 23 + 40 i \sqrt{\frac72\bigg(\frac{5-i}{2-3i}\bigg)^7-23+40i} 2 7 ( 2 − 3 i 5 − i ) 7 − 23 + 40 i REŠENJE ZADATKA
Srediti izraz:
7 2 ( 5 − i 2 − 3 i ) 7 \frac72\bigg(\frac{5-i}{2-3i}\bigg)^7 2 7 ( 2 − 3 i 5 − i ) 7 Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 2 − 3 i , 2-3i, 2 − 3 i , što je 2 + 3 i . 2+3i. 2 + 3 i .
7 2 ( 5 − i 2 − 3 i ⋅ 2 + 3 i 2 + 3 i ) 7 7 2 ( 13 + 13 i 13 ) 7 7 2 ( 1 + i ) 7 \frac72\bigg(\frac{5-i}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i}\bigg)^7 \\
\frac72\bigg(\frac{13+13i}{13}\bigg)^7 \\
\frac72(1+i)^7 2 7 ( 2 − 3 i 5 − i ⋅ 2 + 3 i 2 + 3 i ) 7 2 7 ( 13 13 + 13 i ) 7 2 7 ( 1 + i ) 7 Izraz ( 1 + i ) 7 (1+i)^7 ( 1 + i ) 7 rastaviti na sledeći način:
7 2 ( 1 + i ) ( 1 + i ) 6 7 2 ( 1 + i ) ( ( 1 + i ) 2 ) 3 \frac72(1+i)(1+i)^6 \\
\frac72(1+i)\big((1+i)^2\big)^3 2 7 ( 1 + i ) ( 1 + i ) 6 2 7 ( 1 + i ) ( ( 1 + i ) 2 ) 3 Srediti izraz.
7 2 ( 1 + i ) ( 1 + 2 i + i 2 ) 3 7 2 ( 1 + i ) ( 1 + 2 i − 1 ) 3 7 2 ( 1 + i ) ( 2 i ) 3 7 2 ( 1 + i ) 8 i 3 28 i 3 ( 1 + i ) \frac72(1+i)(1+2i+i^2)^3 \\
\frac72(1+i)(1+2i-1)^3\\
\frac72(1+i)(2i)^3 \\
\frac72(1+i)8i^3 \\
28i^3(1+i) 2 7 ( 1 + i ) ( 1 + 2 i + i 2 ) 3 2 7 ( 1 + i ) ( 1 + 2 i − 1 ) 3 2 7 ( 1 + i ) ( 2 i ) 3 2 7 ( 1 + i ) 8 i 3 28 i 3 ( 1 + i ) Zameniti i 3 i^3 i 3 sa − i -i − i
− 28 i ( 1 + i ) − 28 i − 28 i 2 28 − 28 i -28i(1+i) \\
-28i-28i^2\\
28-28i − 28 i ( 1 + i ) − 28 i − 28 i 2 28 − 28 i Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.
28 − 28 i − 23 + 40 i 5 + 12 i \sqrt{28-28i-23+40i} \\
\sqrt{5+12i} 28 − 28 i − 23 + 40 i 5 + 12 i Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 5 + 12 i = x + i y , \sqrt{5+12i}=x+iy, 5 + 12 i = x + i y , gde su x x x i y y y realni brojevi koje treba odrediti.
Kvadrirati obe strane.
5 + 12 i = x + i y 5 + 12 i = ( x + i y ) 2 5 + 12 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 \sqrt{5+12i}=x+iy \\
5+12i=(x+iy)^2 \\
5+12i=x^2+2xiy+i^2y^2 \\
5 + 12 i = x + i y 5 + 12 i = ( x + i y ) 2 5 + 12 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 Pošto je i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 dobija se:
5 + 12 i = x 2 + 2 x y i − y 2 5+12i=x^2+2xyi-y^2 5 + 12 i = x 2 + 2 x y i − y 2 Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:
x 2 − y 2 = 5 2 x y = 12 x^2-y^2=5 \\
2xy=12 x 2 − y 2 = 5 2 x y = 12 Realni deo kompleksnog broja 5 + 12 i 5+12i 5 + 12 i je 5 , 5, 5 , a imaginarni deo je 12. 12. 12.
Realni deo kompleksnog broja x 2 + 2 x y i − y 2 x^2+2xyi-y^2 x 2 + 2 x y i − y 2 je x 2 − y 2 , x^2-y^2, x 2 − y 2 , a imaginarni deo je 2 x y . 2xy. 2 x y .
Iz druge jednačine izraziti y . y. y .
2 x y = 12 ⟹ y = 6 x 2xy=12\implies y=\frac6x 2 x y = 12 ⟹ y = x 6 Uvrstiti y = 6 x y=\frac6x y = x 6 u prvu jednačinu.
x 2 − ( 6 x ) 2 = 5 x 2 − 36 x 2 = 5 x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 x^2-\bigg(\frac6x\bigg)^2=5 \\
x^2-\frac{36}{x^2}=5 \\
x^4-5x^2-36=0 x 2 − ( x 6 ) 2 = 5 x 2 − x 2 36 = 5 x 4 − 5 x 2 − 36 = 0 Uvesti smenu t = x 2 . t=x^2. t = x 2 .
t 2 − 5 t − 36 = 0 t^2-5t-36=0 t 2 − 5 t − 36 = 0 Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c ,
gde su: a = 1 , a=1, a = 1 , b = − 5 b=-5 b = − 5 i c = − 36 c=-36 c = − 36
t 1 , 2 = 5 ± ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 36 ) 2 ⋅ 1 t 1 , 2 = 5 ± 25 + 144 2 t 1 , 2 = 5 ± 13 2 t 1 = − 4 ∨ t 2 = 9 t_{1,2} = \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot (-36)}}{2\cdot 1}\\
t_{1,2} = \frac{5\pm\sqrt{25+144}}{2}\\
t_{1,2} = \frac{5\pm13}{2} \\
t_1=-4 \quad\lor\quad t_2=9 t 1 , 2 = 2 ⋅ 1 5 ± ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 36 ) t 1 , 2 = 2 5 ± 25 + 144 t 1 , 2 = 2 5 ± 13 t 1 = − 4 ∨ t 2 = 9 Kako je t = x 2 t=x^2 t = x 2 ne može biti negativno, rešenje t 1 = − 4 t_1=-4 t 1 = − 4 se odbacuje.
Za t 2 = 9 t_2=9 t 2 = 9 rešenja za x x x su:
x 1 = 3 ∨ x 2 = − 3 x_1=3 \quad\lor\quad x_2=-3 x 1 = 3 ∨ x 2 = − 3 Rešenja za y y y su:
y 1 = 6 3 = 2 y 2 = 6 − 3 = − 2 y_1=\frac63=2 \\
y_2=\frac6{-3}=-2 y 1 = 3 6 = 2 y 2 = − 3 6 = − 2 Za x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 i y 1 = 2 y_1=2 y 1 = 2 rešenje je:
Za x 2 = − 3 x_2=-3 x 2 = − 3 i y 2 = − 2 y_2=-2 y 2 = − 2 rešenje je:
Dva moguća rešenja su:
3 + 2 i , − 3 − 2 i 3+2i, \quad -3-2i 3 + 2 i , − 3 − 2 i