745.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Izračunati:

−7+24i4\sqrt[4]{-7+24i}
REŠENJE ZADATKA

Četvrti koren se može zapisati:

−7+24i4=−7+24i\sqrt[4]{-7+24i}=\sqrt{\sqrt{-7+24i}}

Prvo odrediti kvadratni koren −7+24i\sqrt{-7+24i} u algebarskom obliku. Pretpostaviti da je −7+24i=x+iy,\sqrt{-7+24i}=x+iy, gde su xx i yy realni brojevi koje treba odrediti.

−7+24i=x+iy−7+24i=x2+2xyi+i2y2−7+24i=x2−y2+2xyi\sqrt{-7+24i}=x+iy \\ -7+24i=x^2+2xyi+i^2y^2\\ -7+24i=x^2-y^2+2xyi

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x2−y2=72xy=24x^2-y^2=7 \\ 2xy=24

Iz druge jednačine izraziti y.y.

2xy=24  ⟹  12x2xy=24 \implies \frac{12}{x}

Uvrstiti y=12xy=\frac{12}{x} u prvu jednačinu.

x2−(12x)2=7x4−7x2−144=0x^2-\Big(\frac{12}{x}\Big)^2=7 \\ x^4-7x^2-144=0

Uvesti smenu t=x2.t=x^2.

t2−7t−144=0t1,2=7±6252t1,2=7±252t1=16∨t2=−9t^2-7t-144=0 \\ t_{1, 2}= \frac{7\pm\sqrt{625}}{2}\\ t_{1, 2}= \frac{7\pm25}{2}\\ t_1 = 16\quad \lor \quad t_2=-9

Kako je t=x2t=x^2 ne može biti negativno, rešenje t2=−9t_2=-9 se odbacuje.

Za t1=16t_1=16 rešenja za xx su:

x1=4∨x2=−4x_1=4 \quad \lor \quad x_2=-4

Rešenja za yy su:

y1=3∨y2=−3y_1=3 \quad \lor \quad y_2=-3

Rešenja za −7+24i\sqrt{-7+24i} su:

4+3i,−4−3i4+3i, \quad -4-3i

Pošto se traži četvrti koren −7+24i4\sqrt[4]{-7+24i} potrebno je odrediti kvadratne korene dobijenih kvadratnih korena.

4+3i,−4−3i\sqrt{4+3i}, \quad \sqrt{-4-3i}

Primenom istog postupka dobijaju se konačna rešenja:

2+i,−2−i,1−2i,−1+2i2+i, \quad -2-i, \quad 1-2i, \quad -1+2i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti