TEKST ZADATKA
Izračunati:
56 ( 1 + 2 i 3 + i ) 6 + 45 4 \sqrt{56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\bigg)^6+\frac{45}4} 56 ( 3 + i 1 + 2 i ) 6 + 4 45 REŠENJE ZADATKA
Dva moguća rešenja su:
7 2 − i , − 7 2 + i \frac72-i,\quad -\frac72+i 2 7 − i , − 2 7 + i Srediti izraz:
56 ( 1 + 2 i 3 + i ) 6 56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\bigg)^6 56 ( 3 + i 1 + 2 i ) 6 Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 3 + i , 3+i, 3 + i , što je 3 − i . 3-i. 3 − i .
56 ( 1 + 2 i 3 + i ⋅ 3 − i 3 − i ) 6 56 ( 5 + 5 i 10 ) 6 56 ( 1 + i 2 ) 6 56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\cdot\frac{3-i}{3-i}\bigg)^6 \\
56\bigg(\frac{5+5i}{10}\bigg)^6 \\
56\bigg(\frac{1+i}{2}\bigg)^6 56 ( 3 + i 1 + 2 i ⋅ 3 − i 3 − i ) 6 56 ( 10 5 + 5 i ) 6 56 ( 2 1 + i ) 6 Srediti izraz.
56 ⋅ ( 1 + i ) 6 2 6 56 ⋅ ( 1 + i ) 6 64 7 8 ( 1 + i ) 6 56\cdot\frac{(1+i)^6}{2^6}\\
56\cdot\frac{(1+i)^6}{64}\\
\frac78(1+i)^6 56 ⋅ 2 6 ( 1 + i ) 6 56 ⋅ 64 ( 1 + i ) 6 8 7 ( 1 + i ) 6 Izraz ( 1 + i ) 6 (1+i)^6 ( 1 + i ) 6 rastaviti na sledeći način:
7 8 ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) 4 7 8 ( 1 + i ) 2 ( ( 1 + i ) 2 ) 2 \frac78(1+i)^2(1+i)^4\\
\frac78(1+i)^2((1+i)^2)^2 8 7 ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) 4 8 7 ( 1 + i ) 2 (( 1 + i ) 2 ) 2 Srediti izraz.
7 8 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( 1 + 2 i + i 2 ) 2 7 8 ( 1 + 2 i − 1 ) ( 1 + 2 i − 1 ) 2 7 8 ⋅ 2 i ⋅ ( 2 i ) 2 7 8 ⋅ 2 i ⋅ 4 i 2 7 8 ⋅ 8 i 3 \frac78(1+2i+i^2)(1+2i+i^2)^2\\
\frac78(1+2i-1)(1+2i-1)^2 \\
\frac78\cdot2i\cdot(2i)^2\\
\frac78\cdot2i\cdot4i^2\\
\frac78\cdot8i^3 8 7 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( 1 + 2 i + i 2 ) 2 8 7 ( 1 + 2 i − 1 ) ( 1 + 2 i − 1 ) 2 8 7 ⋅ 2 i ⋅ ( 2 i ) 2 8 7 ⋅ 2 i ⋅ 4 i 2 8 7 ⋅ 8 i 3 Zameniti i 3 i^3 i 3 sa − i -i − i
Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.
− 7 i + 45 4 \sqrt{-7i+\frac{45}4} − 7 i + 4 45 Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je 45 4 − 7 i = x + i y , \sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy, 4 45 − 7 i = x + i y , gde su x x x i y y y realni brojevi koje treba odrediti.
Kvadrirati obe strane.
45 4 − 7 i = x + i y 45 4 − 7 i = ( x + i y ) 2 45 4 − 7 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 \sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy \\
\frac{45}4-7i=(x+iy)^2\\
\frac{45}4-7i=x^2+2xiy+i^2y^2 4 45 − 7 i = x + i y 4 45 − 7 i = ( x + i y ) 2 4 45 − 7 i = x 2 + 2 x i y + i 2 y 2 Pošto je i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 dobija se:
45 4 − 7 i = x 2 + 2 x y i − y 2 \frac{45}4-7i=x^2+2xyi-y^2 4 45 − 7 i = x 2 + 2 x y i − y 2 Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:
x 2 − y 2 = 45 4 2 x y = − 7 x^2-y^2=\frac{45}4 \\
2xy=-7 x 2 − y 2 = 4 45 2 x y = − 7 Realni deo kompleksnog broja 45 4 − 7 i \frac{45}4-7i 4 45 − 7 i je 45 4 , \frac{45}4, 4 45 , a imaginarni deo je − 7. -7. − 7.
Realni deo kompleksnog broja x 2 + 2 x y i − y 2 x^2+2xyi-y^2 x 2 + 2 x y i − y 2 je x 2 − y 2 , x^2-y^2, x 2 − y 2 , a imaginarni deo je 2 x y . 2xy. 2 x y .
Iz druge jednačine izraziti y . y. y .
2 x y = − 7 ⟹ y = − 7 2 x 2xy=-7 \implies y=-\frac7{2x} 2 x y = − 7 ⟹ y = − 2 x 7 Uvrstiti y = − 7 2 x y=-\frac7{2x} y = − 2 x 7 u prvu jednačinu.
x 2 − ( − 7 2 x ) 2 = 45 4 x 2 − 49 4 x 2 = 45 4 4 x 4 − 45 x 2 − 49 = 0 x^2-\bigg(-\frac7{2x}\bigg)^2=\frac{45}4\\
x^2-\frac{49}{4x^2}=\frac{45}4 \\
4x^4-45x^2-49=0 x 2 − ( − 2 x 7 ) 2 = 4 45 x 2 − 4 x 2 49 = 4 45 4 x 4 − 45 x 2 − 49 = 0 Uvesti smenu t = x 2 . t=x^2. t = x 2 .
4 t 2 − 45 t − 49 = 0 4t^2-45t-49=0 4 t 2 − 45 t − 49 = 0 Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c ,
gde su: a = 4 , a=4, a = 4 , b = − 45 b=-45 b = − 45 i c = − 49 c=-49 c = − 49
t 1 , 2 = 45 ± ( − 45 ) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( − 49 ) 2 ⋅ 4 t 1 , 2 = 45 ± 2025 + 784 8 t 1 , 2 = 45 ± 53 8 t 1 = − 1 ∨ t 2 = 49 4 t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{(-45)^2-4\cdot4\cdot (-49)}}{2\cdot 4}\\
t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{2025+784}}{8}\\
t_{1,2} = \frac{45\pm53}{8} \\
t_1=-1 \quad\lor\quad t_2=\frac{49}4 t 1 , 2 = 2 ⋅ 4 45 ± ( − 45 ) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( − 49 ) t 1 , 2 = 8 45 ± 2025 + 784 t 1 , 2 = 8 45 ± 53 t 1 = − 1 ∨ t 2 = 4 49 Kako je t = x 2 t=x^2 t = x 2 ne može biti negativno, rešenje t 1 = − 1 t_1=-1 t 1 = − 1 se odbacuje.
Za t 2 = 9 t_2=9 t 2 = 9 rešenja za x x x su:
x 1 = 7 2 ∨ x 2 = − 7 2 x_1=\frac72\quad\lor\quad x_2=-\frac72 x 1 = 2 7 ∨ x 2 = − 2 7 Rešenja za y y y su:
y 1 = − 7 2 ⋅ 7 2 = − 7 7 = − 1 y 2 = − 7 − 2 ⋅ 7 2 = 7 7 = 1 y_1=-\frac7{2\cdot\frac72}=-\frac77=-1 \\
y_2=-\frac7{-2\cdot\frac72}=\frac77=1 y 1 = − 2 ⋅ 2 7 7 = − 7 7 = − 1 y 2 = − − 2 ⋅ 2 7 7 = 7 7 = 1 Za x 1 = 7 2 x_1=\frac72 x 1 = 2 7 i y 1 = − 1 y_1=-1 y 1 = − 1 rešenje je:
Za x 2 = − 7 2 x_2=-\frac72 x 2 = − 2 7 i y 2 = 1 y_2=1 y 2 = 1 rešenje je: