791.

Algebarski oblik

TEKST ZADATKA

Ako su dati kompleksni brojevi z1=3+2iz_1=3+2i i z2=2+i,z_2=2+i, odrediti kompleksan broj z=x+iyz=x+iy ako je:

Re(zz1‾)=−1Im(zz2)=35\text{Re}(z\overline{z_1})=-1 \\ \text{Im}\bigg(\frac z{z_2}\bigg)=\frac35
REŠENJE ZADATKA

Odrediti konjugovano kompleksan broj za z1.z_1. Ako je z1=a+ibz_1=a+ib onda je z1‾=a−ib.\overline{z_1}=a-ib.

z1‾=3−2i\overline{z_1}=3-2i

Izračunati z⋅z1ˉ.z\cdot\={z_1} .

(x+iy)⋅(3−2i)3x−2ix+3iy−2i2y3x−2ix+3iy+2y(x+iy)\cdot(3-2i) \\ 3x-2ix+3iy-2i^2y \\ 3x-2ix+3iy+2y

Srediti izraz tako da se izdvoje realni i imaginarni deo.

3x+2y+i(−2x+3y)3x+2y+i(-2x+3y)

Dobija se prva jednačina.

Re(zz1‾)=3x+2y=−1(1)\text{Re}(z\overline{z_1}) = 3x+2y=-1 \quad (1)

Izračunati zz2.\frac z{z_2} .

x+iy2+i\frac{x+iy}{2+i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od 2+i,2+i, što je 2−i.2-i.

x+iy2+i⋅2−i2−i(x+iy)(2−i)4−i22x−ix+2iy−i2y4−i22x−ix+2iy+y4+12x+y−i(x−2y)5\frac{x+iy}{2+i}\cdot\frac{2-i}{2-i} \\ \frac{(x+iy)(2-i)}{4-i^2}\\ \frac{2x-ix+2iy-i^2y}{4-i^2}\\ \frac{2x-ix+2iy+y}{4+1}\\ \frac{2x+y-i(x-2y)}5

Srediti izraz tako da se izdvoje realni i imaginarni deo.

2x+y5+−x+2y5i \frac{2x+y}5+\frac{-x+2y}5i

Dobija se druga jednačina.

Im(zz2)=−x+2y5=35(2)\text{Im}\bigg(\frac z{z_2}\bigg)=\frac{-x+2y}5=\frac35 \quad (2)

Dobija se sistem jednačina:

3x+2y=−1(1)−x+2y=3(2)3x+2y=-1 \quad (1)\\ -x+2y=3 \quad (2)

Oduzeti drugu jednačinu od prve.

3x+2y−(−x+2y)=−1−33x+2y+x−2y=−44x=−4x=−13x+2y-(-x+2y)=-1-3 \\ 3x+2y+x-2y=-4\\ 4x=-4 \\ x=-1

Uvrstiti x=−1x=-1 u jednu od jednačina sistema.

3⋅(−1)+2y=−1−3+2y=−12y=2y=13\cdot(-1)+2y=-1 \\ -3+2y=-1 \\ 2y=2 \\ y=1

Dobijene vrednosti za xx i yy uvrstiti u izraz z=x+iy.z=x+iy.

z=−1+iz=-1+i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti