811. Algebarski oblik kompleksnog broja

Ako su dati kompleksni brojevi $z_1=3+2i$ i $z_2=2+i,$ odrediti kompleksan broj $z=x+iy$ ako je:

\text{Im}(z\overline{z_1})=-1 \\ \text{Re}\bigg(\frac z{z_2}\bigg)=\frac35

Odrediti konjugovano kompleksan broj za $z_1.$ Ako je $z_1=a+ib$ onda je $\overline{z_1}=a-ib.$

\overline{z_1}=3-2i

Izračunati $z\cdot\={z_1} .$

(x+iy)\cdot(3-2i) \\ 3x-2ix+3iy-2i^2y \\ 3x-2ix+3iy+2y

Srediti izraz tako da se izdvoje realni i imaginarni deo.

3x+2y+i(-2x+3y)

Dobija se prva jednačina.

\text{Im}(z\overline{z_1})=-2x+3y=-1 \quad (1)

Izračunati $\frac z{z_2} .$

\frac{x+iy}{2+i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $2+i,$ što je $2-i.$

\frac{x+iy}{2+i}\cdot\frac{2-i}{2-i} \\ \frac{(x+iy)(2-i)}{4-i^2}\\ \frac{2x-ix+2iy-i^2y}{4-i^2}\\ \frac{2x-ix+2iy+y}{4+1}\\ \frac{2x+y-i(x-2y)}5

Srediti izraz tako da se izdvoje realni i imaginarni deo.

\frac{2x+y}5+\frac{-x+2y}5i

Dobija se druga jednačina.

\text{Re}\bigg(\frac z{z_2}\bigg)=\frac{2x+y}5=\frac35 \quad (2)

Dobija se sistem jednačina:

-2x+3y=-1 \quad (1) \\ 2x+y=3 \quad (2)

Sabrati prvu i drugu jednačinu.

-2x+3y+2x+y=-1+3 \\ 4y=2 \\ y=\frac12

Uvrstiti $y=\frac12$ u jednu od jednačina sistema.

2x+\frac12=3 \\ 2x=\frac52 \\ x=\frac54

Dobijene vrednosti za $x$ i $y$ uvrstiti u izraz $z=x+iy.$

z=\frac54+\frac12i

811.Algebarski oblik