Dokaz: dva ugla sa razlikom manjom od 30 stepeni

Označimo mere uglova trougla sa $\alpha ,$ $\beta$ i $\gamma$ tako da su poređane od najmanje ka najvećoj. Pošto je trougao oštrougli, svaki od njih je strogo manji od $90^\circ .$

0^\circ<\alpha\le\beta\le\gamma<90^\circ,\qquad \alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Pretpostavimo suprotno: ne postoje dva ugla čija je razlika manja od $30^\circ .$ Tada su, posebno, razlike susednih uglova u uređenom nizu najmanje $30^\circ .$

\beta-\alpha\ge30^\circ,\qquad \gamma-\beta\ge30^\circ

Iz druge nejednakosti i oštrine ugla $\gamma$ sledi $\beta<60^\circ .$ Zatim iz prve nejednakosti sledi $\alpha\le\beta-30^\circ<30^\circ .$

\gamma\ge\beta+30^\circ\ \land\ \gamma<90^\circ\ \Longrightarrow\ \beta<60^\circ,\qquad \alpha<30^\circ

Zato je zbir dva manja ugla strogo manji od $90^\circ .$ Kako je zbir uglova trougla $180^\circ ,$ najveći ugao morao bi biti veći od $90^\circ ,$ što protivreči pretpostavci da je trougao oštrougli.

\alpha+\beta<30^\circ+60^\circ=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)>90^\circ

Pretpostavka je dovela do protivrečnosti. Prema tome, među tri ugla oštrouglog trougla moraju postojati dva čija je razlika strogo manja od $30^\circ .$

\boxed{\text{Postoje dva ugla čija je razlika manja od }30^\circ.}

Započni učenje

Privatni časovi

438

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci