Kubni koren kompleksnog broja -1 + i

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\sqrt[3]{-1+i}

REŠENJE ZADATKA

Zapisati broj $-1+i$ u eskponencijalnom obliku $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}$

\sqrt[3]{\sqrt2\ e^{\frac{3\pi}4i}}

Primena formule za n-ti koren kompleksnog broja: $z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}$

\sqrt[3]{\sqrt2}\ e^{\frac{\frac{3\pi}4+2k\pi}3i}, \quad k\in\{0,1,2\}

Izračunati konkretne vrednosti za $k \in\{0, 1, 2 \}.$

z_0=\sqrt[6]2\ e^{\frac{\frac{3\pi}4+2\cdot0\cdot\pi}3i}=\sqrt[6]2e^{\frac{\pi}4}\\ z_1=\sqrt[6]2\ e^{\frac{\frac{3\pi}4+2\cdot1\cdot\pi}3i}=\sqrt[6]2e^{\frac{11\pi}{12}}\\ z_2=\sqrt[6]2\ e^{\frac{\frac{3\pi}4+2\cdot2\cdot\pi}3i}=\sqrt[6]2e^{\frac{19\pi}{12}}\\

$\sqrt[3]{-1+i}$