Kompleksna jednačina z na kub + 4 - √48i = 0

Izraziti $z.$

z^3=-4+\sqrt{48}i \\ z=\sqrt[3]{-4+\sqrt{48}i}

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y$ kompleksnog broja $-4+\sqrt{48}i.$

x=-4 \\ y=\sqrt{48}

Odrediti moduo broja $-4+\sqrt{48}i$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|-4+\sqrt{48}i|=\sqrt{(-4)^2+(\sqrt{48})^2}=8

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{\sqrt{48}}{-4}|= |\frac{4\sqrt3}{-4}|=\sqrt3 \implies \varphi=\frac{2\pi}{3}

Pošto su $x<0$ i $y>0$ kompleksni broj $-4+\sqrt{48}i$ se nalazi u drugom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(-4+\sqrt{48}i)=\frac{2\pi}{3}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja $-4+\sqrt{48}i$ odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.$

-4+\sqrt{48}i=8e^{\frac{2\pi}3i}

Uvrstiti dobijenu jednakost u početni izraz.

\sqrt[3]{8e^{\frac{2\pi}3i}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja zapisanog u eksponencijanog obliku $z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}$

\sqrt[3]{8}e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}3i} \\ 2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}3i}, \quad k \in\{0, 1, 2 \}

Uvrstiti $k \in\{0, 1, 2 \}.$

z_0=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot0\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{2\pi}9i} \\ z_1=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot1\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{8\pi}9i} \\ z_2=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot2\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{14\pi}9i}

Sva rešenja prebaciti iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik.

z_0=2e^{\frac{2\pi}9i}=2\big(\cos\frac{2\pi}9+i\sin\frac{2\pi}9\big) \\ z_1=2e^{\frac{8\pi}9i}=2\big(\cos\frac{8\pi}9+i\sin\frac{8\pi}9\big) \\ z_2=2e^{\frac{14\pi}9i}=2\big(\cos\frac{14\pi}9+i\sin\frac{14\pi}9\big)

Započni učenje

Online časovi

$z^3+4-\sqrt{48}i=0$

Beleške

z3+4−48i=0z^3+4-\sqrt{48}i=0z3+4−48​i=0

$z^3+4-\sqrt{48}i=0$