Treći koren kompleksnog broja -8i

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\sqrt[3]{-8i}

REŠENJE ZADATKA

Zapisati broj $-8i$ u eskponencijalnom obliku $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}$

\sqrt[3]{8e^{-\frac{\pi}2i}}

Primena formule za n-ti koren kompleksnog broja: $z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}$

\sqrt[3]{8}\ e^{\frac{-\frac{\pi}2+2k\pi}3i} \\ 2\ e^{\frac{-\frac{\pi}2+2k\pi}3i}, \quad k\in\{0,1,2\}

Izračunati konkretne vrednosti za $k \in\{0, 1, 2 \}.$

z_0=2\ e^{\frac{-\frac{\pi}2+2\cdot0\cdot\pi}3i}=2e^{-\frac{\pi}{6}i} \\ z_1=2\ e^{\frac{-\frac{\pi}2+2\cdot1\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{\pi}{2}i} \\ z_2=2\ e^{\frac{-\frac{\pi}2+2\cdot2\cdot\pi}3i}=2e^{\frac{7\pi}6i}

Pretvoriti rešenja u algebarski oblik.

z_0=2(\cos{(-\frac{\pi}{6})}+i\sin{(-\frac{\pi}{6})})=\sqrt{3}-i\\ z_1=2(\cos{(\frac{\pi}{2})}+i\sin{(\frac{\pi}{2})})=2i\\ z_2=2(\cos{(\frac{7\pi}{6})}+i\sin{(\frac{7\pi}{6})})=-\sqrt{3}-i\\

$\sqrt[3]{-8i}$