Četvrti koren kompleksnog broja -8 + 8√3i

Upoređivanjem sa opštim oblikom kompleksnog broja $z=x+iy$ odrediti $x$ i $y$ kompleksnog broja $-8+8\sqrt3i.$

x=-8 \\ y=8\sqrt3

Odrediti moduo broja $-8+8\sqrt3i$ po formuli $|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

|-8+8\sqrt3i|=\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt3)^2}=16

Ugao $\varphi$ odrediti po formuli $\tg{\varphi=|\frac{y}{x}|}.$

\tg{\varphi} = |\frac{8\sqrt3}{-8}|=\sqrt3 \implies \varphi=\frac{2\pi}{3}

Pošto su $x<0$ i $y>0$ kompleksni broj $-8+8\sqrt3i$ se nalazi u drugom kvadrantu, pa je $\text{arg}(z)=\varphi.$

\text{arg}(-8+8\sqrt3i)=\frac{2\pi}{3}

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja $-8+8\sqrt3i$ odrediti po formuli: $z=|z|\cdot e^{\varphi \cdot i}.$

-8+8\sqrt3i=16e^{\frac{2\pi}3i}

Uvrstiti dobijenu jednakost u početni izraz.

\sqrt[4]{16e^{\frac{2\pi}3i}}

Primeniti formulu za korenovanje kompleksnog broja zapisanog u eksponencijanog obliku $z_k=\sqrt[n]{|z|} \ \cdot \ e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, \ k\in\{0, 1, 2, ..., n-1 \}$

\sqrt[4]{16}e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}4i}\\ 2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2k\pi}4i}, \quad k \in\{0, 1, 2, 3 \}

Uvrstiti $k \in\{0, 1, 2, 3 \}.$

z_0=2e^{\frac{\frac{2\pi}3}4i}=2e^{\frac{\pi}6i} \\ z_1=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot1\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{2\pi}3i} \\ z_2=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot2\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{7\pi}6i}\\ z_3=2e^{\frac{\frac{2\pi}3+2\cdot3\cdot\pi}4i}=2e^{\frac{5\pi}3i}

Sva rešenja prebaciti iz eksponencijalnog u trigonometrijski oblik.

z_0=2e^{\frac{\pi}6i}=2\big(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\big) \\ z_1=2e^{\frac{2\pi}3i}=2\big(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3\big) \\ z_2=2e^{\frac{7\pi}6i}=2\big(\cos\frac{7\pi}6+i\sin\frac{7\pi}6\big)\\ z_3=2e^{\frac{5\pi}3i}=2\big(\cos\frac{5\pi}3+i\sin\frac{5\pi}3\big)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija.

z_0=2\big(\frac{\sqrt3}2+\frac129\big)=\sqrt3+i \\ z_1=2\big(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\big)=-1+\sqrt3i \\ z_2=2\big(-\frac{\sqrt3}2-\frac12i\big)=-\sqrt3-i\\ z_3=2\big(\frac{1}2-\frac{\sqrt3}2i\big)=1-\sqrt3i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt[4]{-8+8\sqrt3i}$

Beleške

−8+83i4\sqrt[4]{-8+8\sqrt3i} 4−8+83​i​

$\sqrt[4]{-8+8\sqrt3i}$