Jednačina sa tangensom i sinusom dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(1+\tg^2x)(1+\sin2x)=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

(1+\tg^2x)(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

(1+\frac {\sin^2x} {\cos^2x})(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Srediti izraz u zagradi:

\frac {\sin^2x+\cos^2x} {\cos^2x}\cdot(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac 1 {\cos^2x}\cdot(1+2\sin{x}\cos{x})=1

Osloboditi se zagrade množenjem:

\frac {1+2\sin{x}\cos{x}} {\cos^2x}=1

Unakrsno pomnožiti izraz:

1+2\sin{x}\cos{x}=\cos^2x

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

1+2\sin{x}\cos{x}-\cos^2x=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

2\sin{x}\cos{x}+\sin^2x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\sin{x}(2\cos{x}+\sin{x})=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin{x}=0\quad \lor\quad 2\cos{x}+\sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=-\arctg2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in \{k\pi,-\arctg2+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

38. Trigonometrijske jednačine