5717. Tangenta i normala krive y = f(x)

Ugao pod kojim se seku dve krive je ugao između njihovih tangenti u presečnoj tački. Koeficijenti pravca tangenti su vrednosti izvoda, $k_1=f_1'(x_0)$ i $k_2=f_2'(x_0) .$ Iz analitičke geometrije, ugao $\varphi$ između pravih sa koeficijentima $k_1,k_2$ zadovoljava $\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$ ; ako je $1+k_1k_2=0 ,$ prave su normalne ( $\varphi=90^\circ$ ).

Presek:

(x-2)^2=-4+6x-x^2 \iff 2x^2-10x+8=0 \iff x^2-5x+4=0 \iff x=1\ \text{ili}\ x=4

Izvodi su $y_1'=2(x-2)$ i $y_2'=6-2x .$ U $x=1 :$ $k_1=-2 ,$ $k_2=4$ ; u $x=4 :$ $k_1=4 ,$ $k_2=-2 .$ U obe tačke:

\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{4-(-2)}{1+(-2)\cdot4}\right|=\frac6{7}

Parabole se seku u tačkama $(1,1)$ i $(4,4) ,$ u obe pod uglom $\varphi=\operatorname{arctg}\frac67\approx40{,}6^\circ .$

Započni učenje

Online časovi

225.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci