269. Tangenta i normala

TEKST ZADATKA

Odrediti jednačinu tangentne grafika funkcije $y=\frac{1}{2}(e^{\frac{x}{2}}+e^{\frac{-x}{2}})$ u tački $x=2\ln{2}$

REŠENJE ZADATKA

Treba odrediti koordinate tačke $(x_0, y_0)$ kroz koju prolazi tangenta. Vrednost $x_0=2\ln{2}$ data je u zadatku. Da bi se izračunalo $y_0$ potrebno je izračunati vrednost funkcije u tački $x=2\ln{2},$ odnosno izračunati $y(2\ln{2})$ uvrštavanjem vrednosti $x_0$ u jednačinu krive.

y(2\ln{2})=\frac{1}{2}(e^{\frac{2\ln{x}}{2}}+e^{\frac{-2\ln{2}}{2}})

Srediti izraz:

y(2\ln{2})=\frac{1}{2}(e^{\ln{2}}+e^{-\ln{2}})=\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})=\frac{5}{4}

Dakle tačka kroz koju prolazi tražena tangenta ima koordinate $(x_0, \space y_0)$ gde su:

x_0=2\ln{2}, \quad y_0=\frac{5}{4}

Izračunati prvi izvod funkcije $y$ po $x.$

y'=\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{4}

Vrednost izvoda u dobijenoj tački $(2\ln{2},\space \frac{5}{4})$ je:

y'(2\ln{2})=\frac{e^{\frac{2\ln{2}}{2}}-e^{-\frac{2\ln{2}}{2}}}{4}

Primeniti pravilo logaritma: $a^{\log_a{x}}=x$

y'(2\ln{2})=\frac{2-\frac{1}{2}}{4}=\frac{\frac{4-1}{2}}{4}=\frac{3}{8}

Uvrstiti dobijene vrednosti u jednačinu tangente: $y-y_0=y'(x_0)\cdot(x-x_0)$

y-\frac{5}{4}=\frac{3}{8}\cdot(x-2\ln{2})

Srediti izraz:

y=\frac{3}{8}x-2\ln{2}\cdot\frac{3}{8}+\frac{5}{4}=\frac{3}{8}x-\frac{3\cdot\ln{4}}{8}+\frac{5}{4}

Jednačina tangente je:

y=\frac{3}{8}x-\frac{3\cdot\ln{4}+10}{8}

7. Tangenta