591.a

Dva događaja (skupa) su jednaka kada svaki elementarni ishod $\omega$ pripada jednom od njih tačno onda kada pripada i drugom. Zato jednakost dokazujemo tako što pratimo proizvoljan ishod $\omega$ (ili dve inkluzije: levo $\subset$ desno i desno $\subset$ levo). Operacije: $\overline A=\Omega\setminus A$ (suprotan događaj: $A$ se nije dogodio), $A\cup B$ (dogodio se bar jedan od $A ,$ $B$), $A\cap B$ (dogodila su se oba), $A\setminus B=A\cap\overline B$ (dogodio se $A ,$ a $B$ nije).

Neka $\omega$ pripada levoj strani. Tada je $\omega\in A\cap B$ ili $\omega\in A\cap\overline B$; u oba slučaja je $\omega\in A .$ Dakle, leva strana $\subset A .$

Obrnuto, neka je $\omega\in A .$ Ishod $\omega$ ili pripada $B$ ili ne pripada (tada je u $\overline B$). U prvom slučaju $\omega\in A\cap B ,$ u drugom $\omega\in A\cap\overline B$; u oba slučaja pripada uniji. Dakle, $A\subset$ leva strana.

Primer: kocka, $A=\{2,4,6\} ,$ $B=\{4,5,6\} ,$ $C=\{1,2\} .$ Tada je $A\cap B=\{4,6\} ,$ $\overline B=\{1,2,3\} ,$ $A\cap\overline B=\{2\} ,$ a unija je $\{2,4,6\}=A .$ Smisao: ishode iz $A$ smo podelili na one u kojima se $B$ dogodio i one u kojima nije.

Time je dokazano da je $(A\cap B)\cup(A\cap\overline B)=A .$