6550. Slučajne veličine

Kuglice su različite i svaka nezavisno bira jednu od tri kutije, pa ima $3^3=27$ jednako verovatnih rasporeda. Raspored zapisujemo i kao trojku $(p,b,c)$ brojeva kuglica u plavoj, beloj i crnoj kutiji. Npr. $(1,1,1)$ se dobija na $3!=6$ načina, $(2,1,0)$ na $3 ,$ a $(3,0,0)$ na $1$ način.

Zajednička raspodela ( $X=p ,$ $Y$ – broj nula u trojki), brojioci sa imeniocem $27 :$ $(X,Y)=(0,1) :$ $6$ (npr. $(0,1,2),(0,2,1)$ ); $(0,2) :$ $2$ ; $(1,0) :$ $6$ ; $(1,1) :$ $6$ ; $(2,1) :$ $6$ ; $(3,2) :$ $1 :$

\begin{array}{c|ccc|c}X\backslash Y&0&1&2&\\\hline0&0&6&2&8\\1&6&6&0&12\\2&0&6&0&6\\3&0&0&1&1\\\hline&6&18&3&27\end{array}

Matematičko očekivanje je $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n$ – „prosečna” vrednost, u kojoj svaka vrednost učestvuje srazmerno svojoj verovatnoći. Iz rubnih raspodela i tabele:

E(X)=\frac{12+12+3}{27}=1,\qquad E(Y)=\frac{18+2\cdot3}{27}=\frac89,\qquad E(XY)=\frac{1\cdot1\cdot6+2\cdot1\cdot6+3\cdot2\cdot1}{27}=\frac{24}{27}=\frac89

Koeficijent korelacije je $\rho(X,Y)=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ,$ gde se $E(XY)=\sum x_iy_j\,P\{X=x_i,Y=y_j\}$ računa iz zajedničke raspodele (tabele verovatnoća za parove vrednosti). Brojilac je $E(XY)-E(X)E(Y)=\frac89-1\cdot\frac89=0 ,$ a disperzije su pozitivne ( $D(X)=\frac23 ,$ $D(Y)=\frac{26}{81}$ ):

\rho(X,Y)=\frac{0}{\sqrt{\frac23}\sqrt{\frac{26}{81}}}=0

$X$ i $Y$ su nekorelisane, ali nisu nezavisne (npr. $P\{X=3,Y=0\}=0 ,$ a $P\{X=3\}P\{Y=0\}\ne0$ ). Napomena: u zbirci se kao jednako verovatni uzimaju $10$ mogućih trojki $(p,b,c)$ (kuglice se ne razlikuju); i tada je $E(X)=1 ,$ $E(Y)=E(XY)=1{,}2 ,$ pa je opet $\rho=0 .$

Dakle, $\rho(X,Y)=0 .$

Započni učenje

Privatni časovi

678

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci