3170. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U grupi od 20 učenika svako od njih se bavi jednim od sportova - košarka, fudbal, rukomet, i to: jedan se bavi svim sportovima, dva se bave košarkom i rukometom, 4 se bave fudbalom i rukometom, a troje se bavi fudbalom i košarkom. Fudbalom se bavi 7, a samo košarkom 4 učenika. Koliko se učenika: b) ne bavi rukometom?

REŠENJE ZADATKA

Neka su $latex_formula$ K $endlatex_formula ,$ $latex_formula$ F $endlatex_formula$ i $latex_formula$ R $endlatex_formula$ skupovi učenika koji treniraju košarku, fudbal i rukomet. Broj elemenata skupa označavamo sa $latex_formula$ n $endlatex_formula .$ Iz teksta zadatka imamo sledeće podatke:

\begin{aligned} n(K \cup F \cup R) &= 20 \\ n(K \cap F \cap R) &= 1 \\ n(K \cap R) &= 2 \\ n(F \cap R) &= 4 \\ n(F \cap K) &= 3 \\ n(F) &= 7 \\ n(K \setminus (F \cup R)) &= 4 \end{aligned}

Učenici koji se ne bave rukometom su oni koji treniraju samo košarku, samo fudbal, ili samo košarku i fudbal. Njihov ukupan broj označavamo sa $latex_formula$ n(R') $endlatex_formula .$

n(R') = n(K \setminus (F \cup R)) + n(F \setminus (K \cup R)) + n((K \cap F) \setminus R)

Računamo broj učenika koji treniraju samo košarku i fudbal (bez rukometa). To je razlika broja učenika koji treniraju košarku i fudbal i onih koji treniraju sva tri sporta.

n((K \cap F) \setminus R) = n(K \cap F) - n(K \cap F \cap R) = 3 - 1 = 2

Da bismo našli broj učenika koji treniraju samo fudbal, prvo računamo broj onih koji treniraju samo fudbal i rukomet (bez košarke).

n((F \cap R) \setminus K) = n(F \cap R) - n(K \cap F \cap R) = 4 - 1 = 3

Sada računamo broj učenika koji treniraju samo fudbal. Od ukupnog broja fudbalera oduzimamo one koji treniraju još neki sport (samo fudbal i košarku, samo fudbal i rukomet, i sva tri sporta).

n(F \setminus (K \cup R)) = n(F) - (n((K \cap F) \setminus R) + n((F \cap R) \setminus K) + n(K \cap F \cap R)) = 7 - (2 + 3 + 1) = 7 - 6 = 1

Konačno, računamo ukupan broj učenika koji se ne bave rukometom sabiranjem dobijenih vrednosti (samo košarka + samo fudbal + samo košarka i fudbal).

n(R') = 4 + 1 + 2 = 7

56.b