Učenici i tri sporta: prvi deo zadatka

Neka je $K$ skup učenika koji treniraju košarku, $F$ skup učenika koji treniraju fudbal i $R$ skup učenika koji treniraju rukomet. Zapišimo poznate podatke koristeći kardinalne brojeve skupova (oznaka $n(A)$ ). Ukupan broj učenika je 20:

n(K \cup F \cup R) = 20

Broj učenika koji se bave svim sportovima je 1:

n(K \cap F \cap R) = 1

Broj učenika koji se bave sa po dva određena sporta (uključujući i one koji se bave sa sva tri):

\begin{aligned} n(K \cap R) &= 2 \\ n(F \cap R) &= 4 \\ n(F \cap K) &= 3 \end{aligned}

Ukupan broj učenika koji treniraju fudbal je 7, a broj učenika koji treniraju samo košarku je 4:

\begin{aligned} n(F) &= 7 \\ n(K \setminus (F \cup R)) &= 4 \end{aligned}

Da bismo našli broj učenika koji se bave samo rukometom, podelićemo učenike u disjunktne grupe. Prvo računamo broj učenika koji treniraju tačno dva sporta (od preseka oduzimamo one koji treniraju sva tri):

\begin{aligned} \text{Samo K i F: } & n(F \cap K) - n(K \cap F \cap R) = 3 - 1 = 2 \\ \text{Samo K i R: } & n(K \cap R) - n(K \cap F \cap R) = 2 - 1 = 1 \\ \text{Samo F i R: } & n(F \cap R) - n(K \cap F \cap R) = 4 - 1 = 3 \end{aligned}

Zatim računamo broj učenika koji treniraju samo fudbal. Od ukupnog broja učenika koji treniraju fudbal oduzimamo one koji treniraju još neki sport (samo K i F, samo F i R, i sva tri):

n(F \setminus (K \cup R)) = 7 - (2 + 3 + 1) = 7 - 6 = 1

Sada možemo sabrati sve disjunktne grupe učenika. Zbir mora biti jednak ukupnom broju učenika (20). Neka je $x$ broj učenika koji treniraju samo rukomet:

\text{Samo K} + \text{Samo F} + \text{Samo R} + \text{Samo K i F} + \text{Samo K i R} + \text{Samo F i R} + \text{Sva tri} = 20

Zamenjujemo poznate vrednosti u jednačinu:

4 + 1 + x + 2 + 1 + 3 + 1 = 20

Rešavamo jednačinu po $x :$

\begin{aligned} 12 + x &= 20 \\ x &= 20 - 12 \\ x &= 8 \end{aligned}

Zaključujemo da se samo rukometom bavi 8 učenika.

n(R \setminus (K \cup F)) = 8

Započni učenje

Online časovi

56.a

Beleške