3168.

56.a

TEKST ZADATKA

U grupi od 20 učenika svako od njih se bavi jednim od sportova - košarka, fudbal, rukomet, i to: jedan se bavi svim sportovima, dva se bave košarkom i rukometom, 4 se bave fudbalom i rukometom, a troje se bavi fudbalom i košarkom. Fudbalom se bavi 7, a samo košarkom 4 učenika. Koliko se učenika: a) bavi samo rukometom;

REŠENJE ZADATKA

Neka je K K skup učenika koji treniraju košarku, F F skup učenika koji treniraju fudbal i R R skup učenika koji treniraju rukomet. Zapišimo poznate podatke koristeći kardinalne brojeve skupova (oznaka n(A) n(A) ). Ukupan broj učenika je 20:

n(K∪F∪R)=20n(K \cup F \cup R) = 20

Broj učenika koji se bave svim sportovima je 1:

n(K∩F∩R)=1n(K \cap F \cap R) = 1

Broj učenika koji se bave sa po dva određena sporta (uključujući i one koji se bave sa sva tri):

n(K∩R)=2n(F∩R)=4n(F∩K)=3\begin{aligned} n(K \cap R) &= 2 \\ n(F \cap R) &= 4 \\ n(F \cap K) &= 3 \end{aligned}

Ukupan broj učenika koji treniraju fudbal je 7, a broj učenika koji treniraju samo košarku je 4:

n(F)=7n(K∖(F∪R))=4\begin{aligned} n(F) &= 7 \\ n(K \setminus (F \cup R)) &= 4 \end{aligned}

Da bismo našli broj učenika koji se bave samo rukometom, podelićemo učenike u disjunktne grupe. Prvo računamo broj učenika koji treniraju tačno dva sporta (od preseka oduzimamo one koji treniraju sva tri):

Samo K i F: n(F∩K)−n(K∩F∩R)=3−1=2Samo K i R: n(K∩R)−n(K∩F∩R)=2−1=1Samo F i R: n(F∩R)−n(K∩F∩R)=4−1=3\begin{aligned} \text{Samo K i F: } & n(F \cap K) - n(K \cap F \cap R) = 3 - 1 = 2 \\ \text{Samo K i R: } & n(K \cap R) - n(K \cap F \cap R) = 2 - 1 = 1 \\ \text{Samo F i R: } & n(F \cap R) - n(K \cap F \cap R) = 4 - 1 = 3 \end{aligned}

Zatim računamo broj učenika koji treniraju samo fudbal. Od ukupnog broja učenika koji treniraju fudbal oduzimamo one koji treniraju još neki sport (samo K i F, samo F i R, i sva tri):

n(F∖(K∪R))=7−(2+3+1)=7−6=1n(F \setminus (K \cup R)) = 7 - (2 + 3 + 1) = 7 - 6 = 1

Sada možemo sabrati sve disjunktne grupe učenika. Zbir mora biti jednak ukupnom broju učenika (20). Neka je x x broj učenika koji treniraju samo rukomet:

Samo K+Samo F+Samo R+Samo K i F+Samo K i R+Samo F i R+Sva tri=20\text{Samo K} + \text{Samo F} + \text{Samo R} + \text{Samo K i F} + \text{Samo K i R} + \text{Samo F i R} + \text{Sva tri} = 20

Zamenjujemo poznate vrednosti u jednačinu:

4+1+x+2+1+3+1=204 + 1 + x + 2 + 1 + 3 + 1 = 20

Rešavamo jednačinu po x: x :

12+x=20x=20−12x=8\begin{aligned} 12 + x &= 20 \\ x &= 20 - 12 \\ x &= 8 \end{aligned}

Zaključujemo da se samo rukometom bavi 8 učenika.

n(R∖(K∪F))=8n(R \setminus (K \cup F)) = 8