3167. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U jednom odeljenju svaki od učenika je pročitao bar jednu od knjiga $A ,$ $B$ ili $C .$ Sve tri knjige je pročitalo 3 učenika, knjige $B$ i $C$ 4 učenika, a knjige A i B 5 učenika. Samo dve knjige je pročitalo 4 učenika. Knjigu A je pročitalo 10, knjigu B je pročitalo 13, a samo jednu knjigu je pročitalo 16 učenika. Koliko je: b) učenika pročitalo knjigu C?

REŠENJE ZADATKA

Neka su $x_A ,$ $x_B$ i $x_C$ brojevi učenika koji su pročitali samo po jednu knjigu (redom $A ,$ $B$ ili $C$ ). Neka su $x_{AB} ,$ $x_{BC}$ i $x_{AC}$ brojevi učenika koji su pročitali tačno dve knjige, i neka je $x_{ABC}$ broj učenika koji su pročitali sve tri knjige.

Iz teksta zadatka znamo da je sve tri knjige pročitalo 3 učenika.

x_{ABC} = 3

Knjige $B$ i $C$ su pročitala 4 učenika. To obuhvata one koji su pročitali samo te dve knjige i one koji su pročitali sve tri.

x_{BC} + x_{ABC} = 4 \implies x_{BC} + 3 = 4 \implies x_{BC} = 1

Knjige $A$ i $B$ je pročitalo 5 učenika.

x_{AB} + x_{ABC} = 5 \implies x_{AB} + 3 = 5 \implies x_{AB} = 2

Samo dve knjige su pročitala 4 učenika. To je zbir onih koji su pročitali samo $A$ i $B ,$ samo $B$ i $C ,$ i samo $A$ i $C .$

x_{AB} + x_{BC} + x_{AC} = 4 \implies 2 + 1 + x_{AC} = 4 \implies x_{AC} = 1

Knjigu $A$ je ukupno pročitalo 10 učenika.

x_A + x_{AB} + x_{AC} + x_{ABC} = 10 \implies x_A + 2 + 1 + 3 = 10 \implies x_A = 4

Knjigu $B$ je ukupno pročitalo 13 učenika.

x_B + x_{AB} + x_{BC} + x_{ABC} = 13 \implies x_B + 2 + 1 + 3 = 13 \implies x_B = 7

Samo jednu knjigu je pročitalo 16 učenika. To je zbir onih koji su pročitali samo $A ,$ samo $B$ i samo $C .$

x_A + x_B + x_C = 16 \implies 4 + 7 + x_C = 16 \implies 11 + x_C = 16 \implies x_C = 5

Na kraju, računamo ukupan broj učenika koji su pročitali knjigu $C .$ To je zbir onih koji su pročitali samo $C ,$ samo $A$ i $C ,$ samo $B$ i $C ,$ i sve tri knjige.

N(C) = x_C + x_{AC} + x_{BC} + x_{ABC} = 5 + 1 + 1 + 3 = 10

55.b