3165. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

U grupi turista svako od njih govori bar jedan od stranih jezika - engleski, francuski ili nemački, i to: 4 govore sva tri jezika, 5 engleski i nemački, 5 nemački i francuski, a samo dva jezika govore 3 turista. Samo francuski govore 3, nemački govori 8, a engleski govori 10 turista. Koliko njih: a) govori samo engleski ili samo nemački;

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo skupove turista koji govore engleski, francuski i nemački redom sa $E ,$ $F$ i $G .$ Neka $n(A)$ označava broj elemenata skupa $A .$ Prema tekstu zadatka imamo sledeće podatke:

\begin{aligned} n(E \cap F \cap G) &= 4 \\ n(E \cap G) &= 5 \\ n(F \cap G) &= 5 \\ n(F \setminus (E \cup G)) &= 3 \\ n(G) &= 8 \\ n(E) &= 10 \end{aligned}

Broj turista koji govore samo engleski i nemački (ali ne i francuski) dobijamo kada od ukupnog broja onih koji govore engleski i nemački oduzmemo one koji govore sva tri jezika.

n((E \cap G) \setminus F) = n(E \cap G) - n(E \cap F \cap G) = 5 - 4 = 1

Slično, broj turista koji govore samo francuski i nemački (ali ne i engleski) je:

n((F \cap G) \setminus E) = n(F \cap G) - n(E \cap F \cap G) = 5 - 4 = 1

Znamo da tačno dva jezika govore 3 turista. To znači da je zbir onih koji govore samo po dva jezika jednak 3. Odatle računamo broj onih koji govore samo engleski i francuski:

n((E \cap F) \setminus G) = 3 - (n((E \cap G) \setminus F) + n((F \cap G) \setminus E)) = 3 - (1 + 1) = 1

Sada računamo broj turista koji govore samo nemački jezik. Od ukupnog broja onih koji govore nemački oduzimamo one koji govore nemački i još neki jezik.

n(G \setminus (E \cup F)) = n(G) - (n((E \cap G) \setminus F) + n((F \cap G) \setminus E) + n(E \cap F \cap G)) = 8 - (1 + 1 + 4) = 2

Na isti način računamo broj turista koji govore samo engleski jezik.

n(E \setminus (F \cup G)) = n(E) - (n((E \cap G) \setminus F) + n((E \cap F) \setminus G) + n(E \cap F \cap G)) = 10 - (1 + 1 + 4) = 4

Na kraju, traži se broj turista koji govore samo engleski ili samo nemački. To je zbir turista koji govore samo engleski i onih koji govore samo nemački.

n(E \setminus (F \cup G)) + n(G \setminus (E \cup F)) = 4 + 2 = 6

57.a