3133. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da za sve skupove $A, B, C, D$ važi:

(A \cup B) \setminus (A \cup C) = (B \setminus A) \cap (B \setminus C)

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti i primenjujemo definiciju razlike skupova: $X \setminus Y = X \cap Y^c .$

(A \cup B) \setminus (A \cup C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)^c

Primenjujemo De Morganov zakon na izraz $(A \cup C)^c .$

(A \cup B) \cap (A^c \cap C^c)

Koristimo asocijativnost preseka da grupišemo članove.

((A \cup B) \cap A^c) \cap C^c

Primenjujemo zakon distributivnosti preseka prema uniji na izraz $(A \cup B) \cap A^c .$

((A \cap A^c) \cup (B \cap A^c)) \cap C^c

Znamo da je presek skupa i njegovog komplementa prazan skup ( $A \cap A^c = \emptyset$ ), a unija praznog skupa i bilo kog skupa je taj isti skup.

(\emptyset \cup (B \cap A^c)) \cap C^c = (B \cap A^c) \cap C^c

Sređivanjem dobijamo konačan oblik leve strane.

B \cap A^c \cap C^c

Sada posmatramo desnu stranu jednakosti i takođe primenjujemo definiciju razlike skupova.

(B \setminus A) \cap (B \setminus C) = (B \cap A^c) \cap (B \cap C^c)

Koristimo komutativnost i asocijativnost preseka, kao i osobinu idempotentnosti ( $B \cap B = B$ ).

B \cap B \cap A^c \cap C^c = B \cap A^c \cap C^c

Pošto smo pokazali da se i leva i desna strana svode na isti izraz, jednakost je dokazana.

(A \cup B) \setminus (A \cup C) = (B \setminus A) \cap (B \setminus C)

52.a