3134. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da za sve skupove $A, B, C, D$ važi:

(A \setminus B) \cap (C \setminus D) = (A \cap C) \setminus (B \cup D)

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Koristimo definiciju razlike skupova, koja glasi $X \setminus Y = X \cap Y^c ,$ gde je $Y^c$ komplement skupa $Y .$

(A \setminus B) \cap (C \setminus D) = (A \cap B^c) \cap (C \cap D^c)

Operacija preseka skupova je asocijativna i komutativna, što znači da redosled operacija i grupisanje nisu bitni. Zato možemo pregrupisati članove tako da spojimo skupove bez komplementa i skupove sa komplementom.

(A \cap B^c) \cap (C \cap D^c) = (A \cap C) \cap (B^c \cap D^c)

Sada primenjujemo De Morganov zakon za skupove na izraz $B^c \cap D^c .$ Prema ovom zakonu važi $X^c \cap Y^c = (X \cup Y)^c .$

(A \cap C) \cap (B^c \cap D^c) = (A \cap C) \cap (B \cup D)^c

Na kraju, ponovo primenjujemo definiciju razlike skupova, ali u obrnutom smeru: presek nekog skupa i komplementa drugog skupa jednak je njihovoj razlici ( $X \cap Y^c = X \setminus Y$ ).

(A \cap C) \cap (B \cup D)^c = (A \cap C) \setminus (B \cup D)

Povezivanjem svih prethodnih koraka, dobijamo traženu jednakost čime je dokaz završen.

(A \setminus B) \cap (C \setminus D) = (A \cap C) \setminus (B \cup D)

52.g