3135. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost dva skupa, pokazujemo da su oni ekvivalentni, odnosno da svaki element koji pripada levom skupu pripada i desnom, i obrnuto. Polazimo od proizvoljnog elementa $x$ koji pripada levom skupu.

x \in A \cap (B \cup C)

Po definiciji preseka skupova, element pripada preseku ako pripada i jednom i drugom skupu. Zapisujemo to pomoću logičke konjunkcije (i).

x \in A \land x \in (B \cup C)

Zatim, po definiciji unije skupova, element pripada uniji ako pripada barem jednom od skupova. Zapisujemo to pomoću logičke disjunkcije (ili).

x \in A \land (x \in B \lor x \in C)

Sada primenjujemo zakon distributivnosti konjunkcije prema disjunkciji iz iskazne logike: $p \land (q \lor r) \iff (p \land q) \lor (p \land r) .$

(x \in A \land x \in B) \lor (x \in A \land x \in C)

Prepoznajemo definiciju preseka skupova u obe zagrade. Prva zagrada predstavlja presek skupova $A$ i $B ,$ a druga presek skupova $A$ i $C .$

x \in (A \cap B) \lor x \in (A \cap C)

Na kraju, primenjujemo definiciju unije skupova na dobijeni logički iskaz. Pošto element pripada prvom ili drugom preseku, on pripada njihovoj uniji.

x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)

Pošto u svakom koraku važi ekvivalencija (svaki korak se može primeniti i u obrnutom smeru), dokazali smo traženu skupovnu jednakost.

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

50.g