Sistem sa razlomcima i uslovom x + y = 3

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=3 \\ x+y-3=0

REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu.

\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=3 \\ \frac{(2x-y)(x-y)} {(x-y)(x+y)}+\frac{x+4y}{(x-y)(x+y)}=3 \\ \frac{2x^2-2xy-xy+y^2} {(x+y)(x+y)}+\frac{x+4y}{(x-y)(x+y)}=3 \\ \frac{2x^2+y^2-3xy+x+4y}{(x+y)(x+y)}=3 \\ 2x^2+y^2-3xy+x+4y=3x^2-3y^2 \\ -x^2+4y^2-3xy+x+4y=0

Iz druge jednačine izraziti $x.$

x+y-3=0 \implies x=3-y

Uvrstiti $x=3-y$ u prvu jednačinu.

-(3-y)^2+4y^2-3(3-y)y+3-y+4y=0 \\ -9+6y-y^2+4y^2-9y+3y^2+3-y+4y=0 \\ 6y^2-6=0 \\ 6(y^2-1)=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

6(y-1)(y+1)=0

Rešenja za $x$ su:

y-1=0 \quad\lor\quad y+1=0 \\ y_1=1 \quad\lor\quad y_2=-1

Uvrstiti $y_1=1$ i $y_2=-1$ u jednačinu $x=3-y.$

x_1=3-1=2 \\ x_2=3-(-1)=3+1=4

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

(2,1) \text{ i } (4,-1)

$\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=2 , \ x+y-3=0$