706.

2x−yx+y+x+4yx2−y2=2, x+y−3=0\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=2 , \ x+y-3=0

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

2x−yx+y+x+4yx2−y2=3x+y−3=0\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=3 \\ x+y-3=0
REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu.

2x−yx+y+x+4yx2−y2=3(2x−y)(x−y)(x−y)(x+y)+x+4y(x−y)(x+y)=32x2−2xy−xy+y2(x+y)(x+y)+x+4y(x−y)(x+y)=32x2+y2−3xy+x+4y(x+y)(x+y)=32x2+y2−3xy+x+4y=3x2−3y2−x2+4y2−3xy+x+4y=0\frac{2x-y} {x+y}+\frac{x+4y}{x^2-y^2}=3 \\ \frac{(2x-y)(x-y)} {(x-y)(x+y)}+\frac{x+4y}{(x-y)(x+y)}=3 \\ \frac{2x^2-2xy-xy+y^2} {(x+y)(x+y)}+\frac{x+4y}{(x-y)(x+y)}=3 \\ \frac{2x^2+y^2-3xy+x+4y}{(x+y)(x+y)}=3 \\ 2x^2+y^2-3xy+x+4y=3x^2-3y^2 \\ -x^2+4y^2-3xy+x+4y=0

Iz druge jednačine izraziti x.x.

x+y−3=0  ⟹  x=3−yx+y-3=0 \implies x=3-y

Uvrstiti x=3−yx=3-y u prvu jednačinu.

−(3−y)2+4y2−3(3−y)y+3−y+4y=0−9+6y−y2+4y2−9y+3y2+3−y+4y=06y2−6=06(y2−1)=0-(3-y)^2+4y^2-3(3-y)y+3-y+4y=0 \\ -9+6y-y^2+4y^2-9y+3y^2+3-y+4y=0 \\ 6y^2-6=0 \\ 6(y^2-1)=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: a2−b2=(a−b)(a+b) a^2-b^2=(a-b)(a+b)

6(y−1)(y+1)=06(y-1)(y+1)=0

Rešenja za xx su:

y−1=0∨y+1=0y1=1∨y2=−1y-1=0 \quad\lor\quad y+1=0 \\ y_1=1 \quad\lor\quad y_2=-1

Uvrstiti y1=1y_1=1 i y2=−1y_2=-1 u jednačinu x=3−y.x=3-y.

x1=3−1=2x2=3−(−1)=3+1=4x_1=3-1=2 \\ x_2=3-(-1)=3+1=4

Rešenje sistema je skup uređenih parova:

(2,1) i (4,−1)(2,1) \text{ i } (4,-1)