3577. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika $a : b : c : d = \dots :$ $a : b = 1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{5} ,$ $b : c = 2\frac{1}{2} : 3\frac{1}{5} ,$ $c : d = 7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{4} .$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pretvoriti mešovite brojeve u neprave razlomke za svaku od proporcija. Za prvu proporciju imamo:

a : b = \frac{4}{3} : \frac{6}{5}

Da bismo uprostili razmeru, pomnožićemo oba člana sa najmanjim zajedničkim sadržaocem za imenioce (NZS za 3 i 5 je 15):

a : b = \left(\frac{4}{3} \cdot 15\right) : \left(\frac{6}{5} \cdot 15\right) = 20 : 18 = 10 : 9

Za drugu proporciju pretvaramo mešovite brojeve u razlomke:

b : c = \frac{5}{2} : \frac{16}{5}

Množimo oba člana sa NZS za 2 i 5, što je 10:

b : c = \left(\frac{5}{2} \cdot 10\right) : \left(\frac{16}{5} \cdot 10\right) = 25 : 32

Za treću proporciju pretvaramo mešovite brojeve u razlomke:

c : d = \frac{15}{2} : \frac{17}{4}

Množimo oba člana sa NZS za 2 i 4, što je 4:

c : d = \left(\frac{15}{2} \cdot 4\right) : \left(\frac{17}{4} \cdot 4\right) = 30 : 17

Sada imamo tri uprošćene proporcije:

\begin{aligned} a : b &= 10 : 9 \\ b : c &= 25 : 32 \\ c : d &= 30 : 17 \end{aligned}

Da bismo spojili prve dve proporcije u produženu proporciju $a : b : c ,$ potrebno je da član koji se odnosi na $b$ bude isti u obe. NZS za 9 i 25 je 225.

\begin{aligned} a : b &= (10 \cdot 25) : (9 \cdot 25) = 250 : 225 \\ b : c &= (25 \cdot 9) : (32 \cdot 9) = 225 : 288 \end{aligned}

Sada možemo zapisati produženu proporciju za prva tri člana:

a : b : c = 250 : 225 : 288

Da bismo uključili i četvrti član $d ,$ potrebno je da izjednačimo član koji se odnosi na $c$ u produženoj proporciji i u proporciji $c : d = 30 : 17 .$ Tražimo NZS za 288 i 30.

\text{NZS}(288, 30) = 1440

Proširujemo produženu proporciju množenjem sa $1440 : 288 = 5 ,$ a proporciju $c : d$ množenjem sa $1440 : 30 = 48 :$

\begin{aligned} a : b : c &= (250 \cdot 5) : (225 \cdot 5) : (288 \cdot 5) = 1250 : 1125 : 1440 \\ c : d &= (30 \cdot 48) : (17 \cdot 48) = 1440 : 816 \end{aligned}

Konačno, spajamo sve u jednu produženu proporciju:

a : b : c : d = 1250 : 1125 : 1440 : 816

243.g