3579. Razmere i proporcije

TEKST ZADATKA

Iz datih proporcija izvesti produženu proporciju oblika $a : b : c : d = \dots :$ $a : b = 3 : 4 ,$ $c : b = 5 : 6 ,$ $d : a = 7 : 6$ ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo formirali produženu proporciju, potrebno je da izjednačimo vrednosti (broj delova) za iste promenljive u različitim razmerama. Prvo ćemo posmatrati razmere u kojima se pojavljuje promenljiva $b .$

Date su razmere $a : b = 3 : 4$ i $c : b = 5 : 6 .$ Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 4 i 6 je 12. Proširujemo prvu razmeru brojem 3, a drugu brojem 2.

\begin{aligned} a : b &= (3 \cdot 3) : (4 \cdot 3) = 9 : 12 \\ c : b &= (5 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 10 : 12 \end{aligned}

Sada možemo zapisati produženu proporciju za promenljive $a ,$ $b$ i $c .$

a : b : c = 9 : 12 : 10

Sada posmatramo dobijenu proporciju i preostalu razmeru $d : a = 7 : 6 .$ Promenljiva $a$ u produženoj proporciji iznosi 9 delova, dok u novoj razmeri iznosi 6 delova.

Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 9 i 6 je 18. Proširujemo produženu proporciju brojem 2, a razmeru $d : a$ brojem 3.

\begin{aligned} a : b : c &= (9 \cdot 2) : (12 \cdot 2) : (10 \cdot 2) = 18 : 24 : 20 \\ d : a &= (7 \cdot 3) : (6 \cdot 3) = 21 : 18 \end{aligned}

Pošto je sada vrednost za $a$ u oba slučaja 18, možemo formirati konačnu produženu proporciju.

a : b : c : d = 18 : 24 : 20 : 21

243.v