168

Prvo identifikujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ da bismo ispitali prirodu rešenja.

Analiziramo znak diskriminante. Jednačina ima konjugovano kompleksna rešenja ako je $D < 0 .$

Jednačina ima realna rešenja kada je diskriminanta nenegativna ($D \ge 0$).

Za $m \le 4$ rešenja su realna. Da bismo odredili njihov znak, analiziramo Vijetove formule i znak koeficijenta $c .$ Zbir rešenja je uvek strogo pozitivan:

Znak proizvoda rešenja zavisi od parametra $m :$

Ako je proizvod negativan ($c < 0$), odnosno $m - 3 < 0 \implies m < 3 ,$ rešenja su suprotnog znaka. Pošto je zbir pozitivan, pozitivno rešenje ima veću apsolutnu vrednost.

Ako je proizvod jednak nuli ($c = 0$), odnosno $m = 3 ,$ jedno rešenje je nula, a drugo je pozitivno jer zbir mora biti 2.

Ako je proizvod pozitivan ($c > 0$), odnosno $m - 3 > 0 \implies m > 3 ,$ rešenja su istog znaka. Kako je zbir pozitivan, oba rešenja moraju biti pozitivna. Uzimajući u obzir uslov $m \le 4 ,$ dobijamo interval za dva različita pozitivna rešenja.

Kada je diskriminanta jednaka nuli ($D = 0$), odnosno $m = 4 ,$ jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje koje je pozitivno.

Konačno, sumiramo sve slučajeve prirode i znaka rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra $m :$