1416.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Odrediti prirodu i znake rešenja jednačine gde je m∈R: m \in \mathbf{R} :

x2−2x+m−3=0x^2 - 2x + m - 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a=1,b=−2,c=m−3a = 1, \quad b = -2, \quad c = m - 3

Računamo diskriminantu D=b2−4ac D = b^2 - 4ac da bismo ispitali prirodu rešenja.

D=(−2)2−4⋅1⋅(m−3)=4−4m+12=16−4m=4(4−m)D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m = 4(4 - m)

Analiziramo znak diskriminante. Jednačina ima konjugovano kompleksna rešenja ako je D<0. D < 0 .

4(4−m)<0  ⟹  4−m<0  ⟹  m>44(4 - m) < 0 \implies 4 - m < 0 \implies m > 4

Jednačina ima realna rešenja kada je diskriminanta nenegativna (D≥0 D \ge 0 ).

4(4−m)≥0  ⟹  m≤44(4 - m) \ge 0 \implies m \le 4

Za m≤4 m \le 4 rešenja su realna. Da bismo odredili njihov znak, analiziramo Vijetove formule i znak koeficijenta c. c . Zbir rešenja je uvek strogo pozitivan:

x1+x2=−ba=−−21=2>0x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2 > 0

Znak proizvoda rešenja zavisi od parametra m: m :

x1⋅x2=ca=m−3x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m - 3

Ako je proizvod negativan (c<0 c < 0 ), odnosno m−3<0  ⟹  m<3, m - 3 < 0 \implies m < 3 , rešenja su suprotnog znaka. Pošto je zbir pozitivan, pozitivno rešenje ima veću apsolutnu vrednost.

m∈(−∞,3)  ⟹  x1<0<x2,∣x2∣>∣x1∣m \in (-\infty, 3) \implies x_1 < 0 < x_2, \quad |x_2| > |x_1|

Ako je proizvod jednak nuli (c=0 c = 0 ), odnosno m=3, m = 3 , jedno rešenje je nula, a drugo je pozitivno jer zbir mora biti 2.

m=3  ⟹  x1=0,x2=2m = 3 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 2

Ako je proizvod pozitivan (c>0 c > 0 ), odnosno m−3>0  ⟹  m>3, m - 3 > 0 \implies m > 3 , rešenja su istog znaka. Kako je zbir pozitivan, oba rešenja moraju biti pozitivna. Uzimajući u obzir uslov m≤4, m \le 4 , dobijamo interval za dva različita pozitivna rešenja.

m∈(3,4)  ⟹  x1>0,x2>0(x1≠x2)m \in (3, 4) \implies x_1 > 0, \quad x_2 > 0 \quad (x_1 \neq x_2)

Kada je diskriminanta jednaka nuli (D=0 D = 0 ), odnosno m=4, m = 4 , jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje koje je pozitivno.

m=4  ⟹  x1=x2=1>0m = 4 \implies x_1 = x_2 = 1 > 0

Konačno, sumiramo sve slučajeve prirode i znaka rešenja u zavisnosti od vrednosti parametra m: m :

{m∈(−∞,3)realna, razlicˇita, suprotnog znakam=3realna, razlicˇita, jedno nula, drugo pozitivnom∈(3,4)realna, razlicˇita, oba pozitivnam=4realna, dvostruko, pozitivnom∈(4,+∞)konjugovano kompleksna\begin{cases} m \in (-\infty, 3) & \text{realna, različita, suprotnog znaka} \\ m = 3 & \text{realna, različita, jedno nula, drugo pozitivno} \\ m \in (3, 4) & \text{realna, različita, oba pozitivna} \\ m = 4 & \text{realna, dvostruko, pozitivno} \\ m \in (4, +\infty) & \text{konjugovano kompleksna} \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti