Razlomačka jednačina: 2 + (2x - 1)/(x + 2)

Prvo određujemo definiciono područje jednačine. Imenitelji ne smeju biti nula, pa mora važiti:

x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 \quad \text{i} \quad 2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržocem za imenitelje, a to je $(x + 2)(2x + 1) ,$ kako bismo se oslobodili razlomaka.

2(x + 2)(2x + 1) + (2x - 1)(2x + 1) = (4x + 3)(x + 2)

Sređujemo izraze množenjem zagrada.

2(2x^2 + x + 4x + 2) + (4x^2 - 1) = 4x^2 + 8x + 3x + 6

Dodatno uprošćavamo levu i desnu stranu jednačine.

4x^2 + 10x + 4 + 4x^2 - 1 = 4x^2 + 11x + 6

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku $ax^2 + bx + c = 0 .$

4x^2 - x - 3 = 0

Identifikujemo koeficijente i računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

a = 4, b = -1, c = -3 \implies D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49

Pošto je $D > 0 ,$ jednačina ima dva realna i različita rešenja koja računamo pomoću formule.

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8}

Računamo vrednosti za $x_1$ i $x_2 .$

x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}

Proveravamo da li rešenja pripadaju definisanom domenu. Oba rešenja su prihvatljiva.

x \in \{1, -\frac{3}{4}\}

158.d