Uprošćavanje: cos na treći α (1 − tg α)(1 + tg α)

Prvo, uočavamo razliku kvadrata u zagradama: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .$ Primenom ove formule dobijamo:

\cos^3 \alpha (1 - \tg^2 \alpha)

Znamo da se tangens ugla može zapisati kao količnik sinusa i kosinusa, odnosno $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .$ Zamenjujemo ovo u izraz:

\cos^3 \alpha \left(1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac, što je $\cos^2 \alpha :$

\cos^3 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Sada možemo da skratimo $\cos^3 \alpha$ u brojiocu i $\cos^2 \alpha$ u imeniocu:

\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Prepoznajemo formulu za kosinus dvostrukog ugla. Možemo je ukratko izvesti iz adicione formule za kosinus: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .$ Ako stavimo da je $x = y = \alpha ,$ dobijamo:

\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Zamenom ovog identiteta u naš izraz, dobijamo konačan rezultat:

\cos \alpha \cos(2\alpha)

Započni učenje

Privatni časovi

629.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci