PrethodniSledeći
2104.

629.a

TEKST ZADATKA

cos⁡3α(1−tg⁡α)(1+tg⁡α) \cos^3 \alpha (1 - \tg \alpha)(1 + \tg \alpha)

REŠENJE ZADATKA

Prvo, uočavamo razliku kvadrata u zagradama: (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 . Primenom ove formule dobijamo:

cos⁡3α(1−tg⁡2α)\cos^3 \alpha (1 - \tg^2 \alpha)

Znamo da se tangens ugla može zapisati kao količnik sinusa i kosinusa, odnosno tg⁡α=sin⁡αcos⁡α. \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} . Zamenjujemo ovo u izraz:

cos⁡3α(1−sin⁡2αcos⁡2α)\cos^3 \alpha \left(1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac, što je cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

cos⁡3α(cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α)\cos^3 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Sada možemo da skratimo cos⁡3α \cos^3 \alpha u brojiocu i cos⁡2α \cos^2 \alpha u imeniocu:

cos⁡α(cos⁡2α−sin⁡2α)\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)

Prepoznajemo formulu za kosinus dvostrukog ugla. Možemo je ukratko izvesti iz adicione formule za kosinus: cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y. \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y . Ako stavimo da je x=y=α, x = y = \alpha , dobijamo:

cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Zamenom ovog identiteta u naš izraz, dobijamo konačan rezultat:

cos⁡αcos⁡(2α)\cos \alpha \cos(2\alpha)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu