2103.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡4α−cos⁡4αsin⁡2α−cos⁡2α−sin⁡3α+cos⁡3αsin⁡α+cos⁡α\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti levi razlomak. Primetimo da se brojilac može faktorisati kao razlika kvadrata koristeći formulu a2−b2=(a−b)(a+b), a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) , gde je a=sin⁡2α a = \sin^2 \alpha i b=cos⁡2α. b = \cos^2 \alpha .

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u levi razlomak i skraćivanjem sa imeniocem dobijamo:

(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)sin⁡2α−cos⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , vrednost prvog razlomka je:

11

Sada uprošćavamo desni razlomak. Brojilac je zbir kubova. Koristimo formulu a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) , gde je a=sin⁡α a = \sin \alpha i b=cos⁡α. b = \cos \alpha .

sin⁡3α+cos⁡3α=(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u desni razlomak i skraćivanjem sa imeniocem dobijamo:

(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)sin⁡α+cos⁡α=sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 na dobijeni izraz:

1−sin⁡αcos⁡α1 - \sin \alpha \cos \alpha

Sada oduzimamo uprošćeni desni razlomak od uprošćenog levog razlomka:

1−(1−sin⁡αcos⁡α)1 - (1 - \sin \alpha \cos \alpha)

Oslobađanjem od zagrade dobijamo konačan rezultat:

1−1+sin⁡αcos⁡α=sin⁡αcos⁡α1 - 1 + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti