5923. Neodredjeni integrali

Delimo članove brojioca sa $e^x$ ; pri tome je $\frac{e^{2x}}{e^x}=e^x$ i $\frac1{e^x}=e^{-x}=\left(\frac1e\right)^x :$

\frac{e^{2x}-1}{e^x}=e^x-\left(\frac1e\right)^x

Prvi član je tablični, $\int e^x\,dx=e^x .$ Za drugi koristimo $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (za $a>0,\ a\neq1$ ) sa osnovom $\frac1e ,$ gde je $\ln\frac1e=-1 :$

\int\left(\frac1e\right)^xdx=\frac{\left(\frac1e\right)^x}{\ln\frac1e}+C=-e^{-x}+C

Oduzimanjem dobijamo:

\int\frac{e^{2x}-1}{e^x}\,dx=e^x-\left(-e^{-x}\right)+C=e^x+e^{-x}+C

Provera, uz $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x} :$

\left(e^x+e^{-x}\right)'=e^x-e^{-x}=\frac{e^{2x}-1}{e^x}

Dakle, $\int\frac{e^{2x}-1}{e^x}\,dx=e^x+e^{-x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

319.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci