Dokaz da jednačina sa razlomcima nema rešenja

Prvo određujemo oblast definisanosti jednačine. Imenitelji ne smeju biti nula.

x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \\ x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1

Domen jednačine je skup svih realnih brojeva osim $1$ i $-1 .$

D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

Svodimo razlomke na levoj strani na zajednički imenitelj $(x-1)(x+1) = x^2-1 .$

\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x+1}{x^2-1}

Pošto su imenitelji isti, možemo izjednačiti brojioce uz uslov da je $x \in D .$

(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x+1

Kvadriramo binome na levoj strani jednačine.

(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x + 1

Sređujemo levu stranu jednačine.

x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x + 1 \\ 4x = 4x + 1

Oduzimanjem $4x$ sa obe strane dobijamo kontradikciju.

0 = 1

Dobijeni izraz $0 = 1$ nikada nije tačan, što znači da polazna jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

678.v