Limes 0/0: deljenje polinoma sa x − 1

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {1}} \frac{x^3+2x^2-2x-1} {x^2+2x-3}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to 1.$ Granična vrednost je neodređenog tipa $\frac{0}{0}.$

\frac {1^3+2*1^2-2*1-1} {1^2+2*1-3} = \frac {1+2-2-1} {1+2-3}=\frac 0 0

Pošto $x\to1,$ i brojilac i imenilac je potrebno podeliti sa $x-1,$ kako bi se izbegla neodređenost $\frac 0 0$

(x^3+2x^2-2x-1) : (x-1) = x^2+3x+1

(x^2+2x-3) : (x-1) = x+3

Izraz $x^3+2x^2-2x-1$ se sad može zameniti:

x^3+2x^2-2x-1= (x-1) (x^2+3x+1)

Izraz $x^2+2x-3$ se sad može zameniti:

x^2+2x-3 = (x-1)( x+3)

Zameniti početne izraze sa uprošćenim:

\lim_{{x} \to {1}} \frac{x^3+2x^2-2x-1} {x^2+2x-3} = \lim_{{x} \to {1}} \frac {(x-1) (x^2+3x+1) } {(x-1)( x+3)}

Skratiti zajednički činilac:

\lim_{{x} \to {1}} \frac {\cancel{(x-1)} (x^2+3x+1) } {\cancel{(x-1)}( x+3)} = \lim_{{x} \to {1}} \frac {x^2+3x+1 } { x+3}

Uvrstiti $x \to 1.$ Granična vrednost je $\frac 5 4 .$

\frac {1^2+3*1+1 } { 1+3} = \frac {1+3+1} {4}= \frac 5 4

Limesi 19