Limes 0/0: faktorisanje dva kvadratna trinoma

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x^2-5x-3} {3x^2-7x-6}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x \to 3.$ Granična vrednost je neodređenog oblika $\frac{0}{0}.$

\frac {2*3^2-5*3-3} {3*3^2-7*3-6} = \frac {18-15-3} {27-21-6} = \frac 0 0

Faktorisati brojilac i naći nule (rešenja kvadratne jednačine: $2x^2-5x-3$ )

x_{1,2}=\frac {5 \mp\sqrt{5^2-4*2*(-3)}} {2*2} \implies x_1=-\frac 1 2, x_2=3

Izraz $2x^2-5x-3$ se sad može zameniti.

2x^2-5x-3 = \bigg(x+\frac 1 2\bigg)(x-3) = (2x+1)(x-3)

Na isti način faktorisati jednačinu u imeniocu: $3x^2-7x-6$

x_{1,2}=\frac {7 \mp\sqrt{7^2-4*3*(-6)}} {2*3} \implies x_1=-\frac 2 3, x_2=3

Izraz $3x^2-7x-6$ se sad može zameniti.

3x^2-7x-6 = (x+\frac 2 3)(x-3)=(3x+2)(x-3)

Zameniti početne izraze sa uprošćenim.

\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x^2-5x-3} {3x^2-7x-6}=\lim_{{x} \to {3}} \frac {(2x+1)(x-3)} {(3x+2)(x-3)}

Skratiti zajednički činilac.

\lim_{{x} \to {3}} \frac {(2x+1)\cancel{(x-3)}} {(3x+2)\cancel{(x-3)}}=\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x+1} {3x+2}

Uvrstiti $x \to 3.$ Granična vrednost je $\frac 7 {11} .$

\frac {2*3+1} {3*3+2} = \frac 7 {11}

Limesi 18