172.

Limesi 18

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

lim⁡x→32x2−5x−33x2−7x−6\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x^2-5x-3} {3x^2-7x-6}
REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti x→3.x \to 3. Granična vrednost je neodređenog oblika 00.\frac{0}{0}.

2∗32−5∗3−33∗32−7∗3−6=18−15−327−21−6=00 \frac {2*3^2-5*3-3} {3*3^2-7*3-6} = \frac {18-15-3} {27-21-6} = \frac 0 0

Faktorisati brojilac i naći nule (rešenja kvadratne jednačine: 2x2−5x−32x^2-5x-3)

x1,2=5∓52−4∗2∗(−3)2∗2  ⟹  x1=−12,x2=3x_{1,2}=\frac {5 \mp\sqrt{5^2-4*2*(-3)}} {2*2} \implies x_1=-\frac 1 2, x_2=3
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izraz 2x2−5x−32x^2-5x-3 se sad može zameniti.

2x2−5x−3=(x+12)(x−3)=(2x+1)(x−3)2x^2-5x-3 = \bigg(x+\frac 1 2\bigg)(x-3) = (2x+1)(x-3)

Na isti način faktorisati jednačinu u imeniocu: 3x2−7x−6 3x^2-7x-6

x1,2=7∓72−4∗3∗(−6)2∗3  ⟹  x1=−23,x2=3x_{1,2}=\frac {7 \mp\sqrt{7^2-4*3*(-6)}} {2*3} \implies x_1=-\frac 2 3, x_2=3
DODATNO OBJAŠNJENJE

Izraz 3x2−7x−63x^2-7x-6 se sad može zameniti.

3x2−7x−6=(x+23)(x−3)=(3x+2)(x−3)3x^2-7x-6 = (x+\frac 2 3)(x-3)=(3x+2)(x-3)

Zameniti početne izraze sa uprošćenim.

lim⁡x→32x2−5x−33x2−7x−6=lim⁡x→3(2x+1)(x−3)(3x+2)(x−3)\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x^2-5x-3} {3x^2-7x-6}=\lim_{{x} \to {3}} \frac {(2x+1)(x-3)} {(3x+2)(x-3)}

Skratiti zajednički činilac.

lim⁡x→3(2x+1)(x−3)(3x+2)(x−3)=lim⁡x→32x+13x+2\lim_{{x} \to {3}} \frac {(2x+1)\cancel{(x-3)}} {(3x+2)\cancel{(x-3)}}=\lim_{{x} \to {3}} \frac {2x+1} {3x+2}

Uvrstiti x→3.x \to 3. Granična vrednost je 711. \frac 7 {11} .

2∗3+13∗3+2=711\frac {2*3+1} {3*3+2} = \frac 7 {11}