170. Limes oblika: {% \frac{0}{0} %}

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {2}} \frac {\sqrt[3] {x} - \sqrt[3]{2}} {\sqrt{x}-\sqrt{2}}

REŠENJE ZADATKA

Uvrstiti $x\to2.$ Granična vrednost je neodređenog oblika $\frac{0}{0}.$

\frac {\sqrt[3] {2} - \sqrt[3]{2}} {\sqrt{2}-\sqrt{2}} = \frac 0 0

Pomnožiti i podeliti izraz sa $\frac {(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2} {(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2}$ kako bi se dobila razlika kubova u brojiocu. Pomnožiti i podeliti izraz sa $\frac {\sqrt{x}+\sqrt{2}} {\sqrt{x}+\sqrt{2}}$ kako bi se dobila razlika kvadrata u imeniocu.

\lim_{{x} \to {2}} \frac {\sqrt[3] {x} - \sqrt[3]{2}} {\sqrt{x}-\sqrt{2}} * \frac {\sqrt{x}+\sqrt{2}} {\sqrt{x}+\sqrt{2}}*\frac {(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2} {(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2} =\lim_{{x} \to {2}} \frac {\sqrt{x}+\sqrt{2}} {(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2}

Uvrstiti $x \to 2.$ Granična vrednost je $\frac {\sqrt[6]{2^5}} 3 .$

\frac {\sqrt{2}+\sqrt{2}} {\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2*2}+\sqrt[3]{2^2}} = \frac {\sqrt{2}+\sqrt{2}} {\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2^2}}= \frac {2\sqrt{2}} {3\sqrt[3]{2^2}}= \frac {2*2^{\frac 1 2}} {3*2^{\frac 2 3}} = \frac 1 3 * 2^{\frac 1 2+1-\frac 2 3} = \frac 1 3 * 2^{\frac 5 6} = \frac {\sqrt[6]{2^5}} 3

Limesi 16