3079.

28.a

TEKST ZADATKA

Ispitati tačnost formule u skupu prirodnih brojeva: (∀x)(∃y)(x<y) (\forall x)(\exists y)(x < y) ;

REŠENJE ZADATKA

Analiziramo dato tvrđenje. Ono glasi: "Za svaki prirodan broj x, x , postoji prirodan broj y y takav da je x x manje od y y ".

Da bismo dokazali da je ovo tačno, za proizvoljno izabrano x∈N x \in \mathbb{N} moramo pronaći barem jedno y∈N y \in \mathbb{N} koje ispunjava uslov x<y. x < y .

Neka je x x proizvoljan prirodan broj. Možemo izabrati da je y=x+1. y = x + 1 .

y=x+1y = x + 1

Pošto je x∈N, x \in \mathbb{N} , tada je i x+1∈N, x + 1 \in \mathbb{N} , odnosno y∈N. y \in \mathbb{N} .

Proveravamo uslov x<y. x < y . Zamenom y y sa x+1 x + 1 dobijamo:

x<x+1x < x + 1

Oduzimanjem x x sa obe strane nejednakosti dobijamo iskaz koji je uvek tačan.

0<10 < 1

Zaključujemo da za svaki prirodan broj x x postoji prirodan broj y y (na primer y=x+1 y = x + 1 ) takav da je x<y. x < y . Prema tome, data formula je tačna.

⊤\top