3076.

27.ž

TEKST ZADATKA

Koje od sledećih rečenica su tačne u skupu prirodnih brojeva? ¬(∀x)(x>10∨x<5). \neg(\forall x)(x > 10 \lor x < 5) .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo ispitali tačnost rečenice, prvo primenjujemo pravilo za negaciju univerzalnog kvantifikatora: ¬(∀x)P(x)  ⟺  (∃x)¬P(x). \neg(\forall x) P(x) \iff (\exists x) \neg P(x) .

(∃x∈N)¬(x>10∨x<5)(\exists x \in \mathbb{N}) \neg(x > 10 \lor x < 5)

Zatim primenjujemo De Morganov zakon za logičke operacije: ¬(A∨B)  ⟺  ¬A∧¬B. \neg(A \lor B) \iff \neg A \land \neg B .

(∃x∈N)(¬(x>10)∧¬(x<5))(\exists x \in \mathbb{N}) (\neg(x > 10) \land \neg(x < 5))

Znamo da je negacija od x>10 x > 10 zapravo x≤10, x \le 10 , a negacija od x<5 x < 5 je x≥5. x \ge 5 .

(∃x∈N)(x≤10∧x≥5)(\exists x \in \mathbb{N}) (x \le 10 \land x \ge 5)

Ovo možemo zapisati u obliku dvostruke nejednakosti:

(∃x∈N)(5≤x≤10)(\exists x \in \mathbb{N}) (5 \le x \le 10)

Dobijena rečenica tvrdi da postoji prirodan broj koji se nalazi u intervalu od 5 do 10, uključujući i te brojeve.

Pošto takvi prirodni brojevi postoje (to su 5, 6, 7, 8, 9 i 10), zaključujemo da je data rečenica tačna.

⊤\top