3076. Kvantifikatori (kvantori)

TEKST ZADATKA

Koje od sledećih rečenica su tačne u skupu prirodnih brojeva? $\neg(\forall x)(x > 10 \lor x < 5) .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo ispitali tačnost rečenice, prvo primenjujemo pravilo za negaciju univerzalnog kvantifikatora: $\neg(\forall x) P(x) \iff (\exists x) \neg P(x) .$

(\exists x \in \mathbb{N}) \neg(x > 10 \lor x < 5)

Zatim primenjujemo De Morganov zakon za logičke operacije: $\neg(A \lor B) \iff \neg A \land \neg B .$

(\exists x \in \mathbb{N}) (\neg(x > 10) \land \neg(x < 5))

Znamo da je negacija od $x > 10$ zapravo $x \le 10 ,$ a negacija od $x < 5$ je $x \ge 5 .$

(\exists x \in \mathbb{N}) (x \le 10 \land x \ge 5)

Ovo možemo zapisati u obliku dvostruke nejednakosti:

(\exists x \in \mathbb{N}) (5 \le x \le 10)

Dobijena rečenica tvrdi da postoji prirodan broj koji se nalazi u intervalu od 5 do 10, uključujući i te brojeve.

Pošto takvi prirodni brojevi postoje (to su 5, 6, 7, 8, 9 i 10), zaključujemo da je data rečenica tačna.

\top

27.ž