1745. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna jednačina imala dva pozitivna realna rešenja, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna, a zbir i proizvod rešenja moraju biti pozitivni (Vijetove formule).

D \ge 0, \quad x_1 + x_2 > 0, \quad x_1 \cdot x_2 > 0

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a = 4, \quad b = -4(m - 2), \quad c = m

Postavljamo prvi uslov, da je diskriminanta nenegativna ( $D \ge 0$ ).

D = b^2 - 4ac = (-4(m - 2))^2 - 4 \cdot 4 \cdot m \ge 0

Sređujemo nejednačinu za diskriminantu i faktorišemo kvadratni trinom.

16(m^2 - 4m + 4) - 16m \ge 0 \implies 16(m^2 - 5m + 4) \ge 0 \implies (m-1)(m-4) \ge 0

m \in (-\infty, 1)

m \in (1, 4)

m \in (4, +\infty)

m-1

-

+

+

m-4

-

-

+

(m-1)(m-4)

+

-

+

Na osnovu tabele znakova, rešenje kvadratne nejednačine $(m-1)(m-4) \ge 0$ je:

m \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)

Postavljamo drugi uslov, da je zbir rešenja pozitivan ( $x_1 + x_2 > 0$ ).

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4(m - 2)}{4} = m - 2 > 0

Rešavamo nejednačinu za zbir rešenja.

m > 2 \implies m \in (2, +\infty)

Postavljamo treći uslov, da je proizvod rešenja pozitivan ( $x_1 \cdot x_2 > 0$ ).

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{4} > 0

Rešavamo nejednačinu za proizvod rešenja.

m > 0 \implies m \in (0, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku sva tri uslova.

m \in ((-\infty, 1] \cup [4, +\infty)) \cap (2, +\infty) \cap (0, +\infty)

Određujemo presek intervala.

m \in [4, +\infty)

307