TEKST ZADATKA
Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da oba rešenja jednačine 4x2−4(m−2)x+m=0 budu pozitivna.
REŠENJE ZADATKA
Da bi kvadratna jednačina imala dva pozitivna realna rešenja, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna, a zbir i proizvod rešenja moraju biti pozitivni (Vijetove formule).
D≥0,x1+x2>0,x1⋅x2>0 Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.
a=4,b=−4(m−2),c=m Postavljamo prvi uslov, da je diskriminanta nenegativna (D≥0).
D=b2−4ac=(−4(m−2))2−4⋅4⋅m≥0 Sređujemo nejednačinu za diskriminantu i faktorišemo kvadratni trinom.
16(m2−4m+4)−16m≥0⟹16(m2−5m+4)≥0⟹(m−1)(m−4)≥0 m∈(−∞,1) m∈(1,4) m∈(4,+∞) (m−1)(m−4) Na osnovu tabele znakova, rešenje kvadratne nejednačine (m−1)(m−4)≥0 je:
m∈(−∞,1]∪[4,+∞) Postavljamo drugi uslov, da je zbir rešenja pozitivan (x1+x2>0).
x1+x2=−ab=−4−4(m−2)=m−2>0 Rešavamo nejednačinu za zbir rešenja.
m>2⟹m∈(2,+∞) Postavljamo treći uslov, da je proizvod rešenja pozitivan (x1⋅x2>0).
x1⋅x2=ac=4m>0 Rešavamo nejednačinu za proizvod rešenja.
m>0⟹m∈(0,+∞) Konačno rešenje dobijamo u preseku sva tri uslova.
m∈((−∞,1]∪[4,+∞))∩(2,+∞)∩(0,+∞) Određujemo presek intervala.
m∈[4,+∞)