TEKST ZADATKA
Rešiti nejednačine (zadaci 302-304):
x2−4x2−4∣x∣+3<0
REŠENJE ZADATKA
Da bismo rešili nejednačinu, prvo definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:
∣x∣={x,−x,za x≥0za x<0 **Slučaj 1:** Pretpostavimo da je x≥0. Tada je ∣x∣=x, pa nejednačina postaje:
x2−4x2−4x+3<0 Faktorišemo kvadratne trinome u brojiocu i imeniocu:
(x−2)(x+2)(x−1)(x−3)<0 Pravimo tabelu znakova za dobijeni izraz. Nule brojioca su x=1 i x=3, a nule imenioca su x=−2 i x=2.
x∈(−∞,−2) x∈(−2,1) x∈(1,2) x∈(2,3) x∈(3,+∞) Na osnovu tabele, izraz je strogo manji od nule na intervalima gde je znak minus:
x∈(−2,1)∪(2,3) Pošto rešavamo za slučaj x≥0, nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom:
x∈[0,1)∪(2,3) **Slučaj 2:** Pretpostavimo da je x<0. Tada je ∣x∣=−x, pa nejednačina postaje:
x2−4x2−4(−x)+3<0⟹x2−4x2+4x+3<0 Faktorišemo kvadratne trinome u brojiocu i imeniocu:
(x−2)(x+2)(x+1)(x+3)<0 Pravimo tabelu znakova za ovaj izraz. Nule brojioca su x=−1 i x=−3, a nule imenioca su x=−2 i x=2.
x∈(−∞,−3) x∈(−3,−2) x∈(−2,−1) x∈(−1,2) x∈(2,+∞) Na osnovu tabele, izraz je strogo manji od nule na intervalima gde je znak minus:
x∈(−3,−2)∪(−1,2) Pošto rešavamo za slučaj x<0, nalazimo presek ovog rešenja sa uslovom:
x∈(−3,−2)∪(−1,0) Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja:
x∈((−3,−2)∪(−1,0))∪([0,1)∪(2,3)) Spajanjem intervala (−1,0) i [0,1) dobijamo konačan skup rešenja:
x∈(−3,−2)∪(−1,1)∪(2,3)